Zbadać zbieżność szeregu (z kryterium porównawczego)

[zaqws]

a) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \tg \frac{ \pi }{4^n}\)
b) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \sqrt{ \sin \frac{1}{n} }\)
c) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \sin (\tg \frac{1}{n})\)
d) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \ln (1+ \frac{1}{n})\)
e) \(\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{n+1}{n^2-n}\)

[eresh]

c) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \sin (\tg \frac{1}{n})\)

\(\sin\tg\frac{1}{n}\geq \frac{1}{n}\)
\(\sum_{n\to 1}^{\infty}\frac{1}{n}\) jest rozbieżny więc \(\sum_{n=1}^{ \infty } \sin (\tg \frac{1}{n})\) też jest rozbieżny

[eresh]

d) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \ln (1+ \frac{1}{n})\)

\(\frac{1}{n}\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n^2}\)
\(\sum\frac{1}{n^2}\) jest zbieżny, więc na mocy kryterium porównawczego zbieżny jest też szereg \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \ln (1+ \frac{1}{n})\)

[eresh]

e) \(\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{n+1}{n^2-n}\)

\(\frac{n+1}{n(n-1)}>\frac{n}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}\)
\(\sum\frac{1}{n-1}\)jest rozbieżny, więc i nasz szereg jest rozbieżny