Ekstrema lokalne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
\(x>0 \ \wedge \ y>0 \ \wedge \ 12-x-y>0\)
\(f'_x=3 \cdot \frac{1}{ \frac{x}{6} } \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{12-x-y} \cdot (-1)\\
f'_y=2 \cdot \frac{1}{ y } + \frac{1}{12-x-y} \cdot (-1)\)
WK:
\(\begin{cases} \frac{3}{x}+ \frac{-1}{12-x-y} =0 \\ \frac{2}{y}+ \frac{-1}{12-x-y} =0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x=6 \\ y=4\end{cases}\)
Dalej pewnie potrafisz.
\(f'_x=3 \cdot \frac{1}{ \frac{x}{6} } \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{12-x-y} \cdot (-1)\\
f'_y=2 \cdot \frac{1}{ y } + \frac{1}{12-x-y} \cdot (-1)\)
WK:
\(\begin{cases} \frac{3}{x}+ \frac{-1}{12-x-y} =0 \\ \frac{2}{y}+ \frac{-1}{12-x-y} =0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x=6 \\ y=4\end{cases}\)
Dalej pewnie potrafisz.
-
eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{3}{x}-\frac{1}{12-x-y}\\
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2}{y}-\frac{1}{12-x-y}\\
\begin{cases}\frac{3}{x}-\frac{1}{12-x-y}=0\\\frac{2}{y}-\frac{1}{12-x-y}=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=6\\y=4\end{cases}\)
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=\frac{-3}{x^2}-\frac{1}{(12-x-y)^2}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)=\frac{-1}{(12-x-y)^2}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=\frac{-2}{y^2}-\frac{1}{(12-x-y)^2}\)
\(\begin{vmatrix}\frac{-3}{36}-\frac{1}{(12-6-4)^2}&-\frac{1}{(12-6-4)^2}\\-\frac{1}{(12-6-4)^2}&\frac{-2}{16}-\frac{1}{(12-6-4)^2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{8}\end{vmatrix} =\frac{1}{16}>0\\
-\frac{1}{3}<0\)
maksimum lokalne
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2}{y}-\frac{1}{12-x-y}\\
\begin{cases}\frac{3}{x}-\frac{1}{12-x-y}=0\\\frac{2}{y}-\frac{1}{12-x-y}=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=6\\y=4\end{cases}\)
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=\frac{-3}{x^2}-\frac{1}{(12-x-y)^2}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)=\frac{-1}{(12-x-y)^2}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=\frac{-2}{y^2}-\frac{1}{(12-x-y)^2}\)
\(\begin{vmatrix}\frac{-3}{36}-\frac{1}{(12-6-4)^2}&-\frac{1}{(12-6-4)^2}\\-\frac{1}{(12-6-4)^2}&\frac{-2}{16}-\frac{1}{(12-6-4)^2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{8}\end{vmatrix} =\frac{1}{16}>0\\
-\frac{1}{3}<0\)
maksimum lokalne
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 
