funkcja ciągła

[kate84]

Dobrać wartość parametrów a i b tak aby funkcje były ciągłe:
a).\(f(x)= \begin{cases}\frac{ln(cosx)}{ln(cos3x)}\ \ \ \ dla x \in (- \frac{ \pi }{2},0 )\\\frac{a}{9}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ \ x=0\\ \frac{ \sqrt{x+4}-2 }{bx}\ \ dla\ \ x \in (0, \frac{ \pi }{2}) \end{cases}\)

b). \(f(x)= \begin{cases} \frac{e^{x+1}sin^2 3x}{ax^2}\ \ \ \ dla \ \ x \in (- \frac{ \pi }{2},0 )\\ e^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ \ \ x \in <0, \frac{ \pi }{2})\end{cases}\)


Przepraszam, ale nie potrafie tego inaczej zapisac.

[radagast]

Dobrać wartość parametrów a i b tak aby funkcje były ciągłe:
a). \(f(x)= \begin{cases}\frac{ln(cosx)}{ln(cos3x)}\ \ \ \ dla x \in (- \frac{ \pi }{2},0 )\\\frac{a}{9}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ \ x=0\\ \frac{ \sqrt{x+4}-2 }{bx}\ \ dla\ \ x \in (0, \frac{ \pi }{2}) \end{cases}\)

\(\Lim_{x\to 0^-} \frac{ln(cosx)}{ln(cos3x)}= \Lim_{x\to 0} \frac{\cos 3x \cdot sin x}{cos x \cdot 3\sin3x}= \frac{1}{9}\)
\(\Lim_{x\to 0} \frac{a}{9} = \frac{a}{9}\)
\(\frac{a}{9}= \frac{1}{9} \iff a=9\)
\(\Lim_{x\to 0^+}\frac{ \sqrt{x+4}-2 }{bx}=\Lim_{x\to 0^+}\frac{ \sqrt{x+4}-2 }{bx} \cdot \frac{ \sqrt{x+4}+2 }{ \sqrt{x+4}+2}=\Lim_{x\to 0^+}\frac{1}{b} \cdot \frac{ 1 }{ \sqrt{x+4}+2}= \frac{1}{4b}\)
\(\frac{1}{4b}=1 \iff b= \frac{1}{4}\)

[radagast]

b). \(f(x)= \begin{cases} \frac{e^{x+1}sin^2 3x}{ax^2}\ \ \ \ dla \ \ x \in (- \frac{ \pi }{2},0 )\\ e^2\ \ \ dla \ \ \ x \in <0, \frac{ \pi }{2})\end{cases}\)

\(\Lim_{x\to 0^- } \frac{e^{x+1}sin^2 3x}{ax^2}=\Lim_{x\to 0^- } \frac{9e^{x+1}sin^2 3x}{a \cdot (3x)^2}= \frac{9e}{a}\)
\(\frac{9e}{a}=e^2 \iff a= \frac{9}{e}\)