Granica funkcji

[Alan2121]

\(\Lim_{x\to 0} sinx^{sinx}\)
Nie mam w ogóle pomysłu jak to zrobić

[kerajs]

\(\Lim_{x\to 0} \sin x^{\sin x}= \left[0^0\right]=\Lim_{x\to 0} e^{ \ln \sin x^{\sin x}}=\Lim_{x\to 0} e^{ \frac{\ln \sin x}{ \frac{1}{\sin x} } }=...\)
Teraz ułamek w wykładniku traktujesz de l'Hopitalem i dostajesz wynik ( czyli 1)

[Alan2121]

Dzięki
A masz pomysł na to , bo z tym też mam problem (n!+n^2)/n^n i granice trzeba wyznaczyć?

[kerajs]

Pewnie chodzi o granicę:
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{n!-n^2}{n^n}=...\)
Użyję wzoru Stirlinga
\(...= \Lim_{n\to \infty } \frac{ (\frac{n}{e})^n \sqrt{2 \pi n} -n^2}{n^n}= \Lim_{n\to \infty } \frac{(\frac{1}{e})^n \sqrt{2 \pi n}- \frac{1}{n^{n-2}} }{1}=...\)
Na boku policz de l'Hopitelem \(\Lim_{n\to \infty } (\frac{1}{e})^n \sqrt{2 \pi n}\) (powinno wyjść 0)
Więc:
\(...=\Lim_{n\to \infty } \frac{(\frac{1}{e})^n \sqrt{2 \pi n}- \frac{1}{n^{n-2}} }{1}= \frac{0-0}{1}=0\)

[radagast]

A czy nie prościej tak: \(\Lim_{n\to \infty } \frac{n!-n^2}{n^n}=\Lim_{n\to \infty } \frac{n!}{n^n}- \frac{n^2}{n^n}=0-0\)
Nie jest oczywiste, że \(\Lim_{n\to \infty } \frac{n!}{n^n}=0\)
wiec załączam filmik: https://www.youtube.com/watch?v=d62835jxd2s