Na przedziale <0,1> rozważmy funkcje f(x) = 4 - \(x^2\) - \(e^x\)
Ile jest punktów x spełniających warunek f(x) =2 ? Znaleźć przybliżoną wartość każdego z nich z błędem nie większym od \(\frac{1}{4}\) .
Znaleźć przybliżone wartości
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Rozważamy funkcję \(g(x)=f(x)-2=4x^2e^x-2\) w przedziale \(<0,1>\).
Ponieważ \(g(0)=-2<0,\,\,\, g(1)=4e-2>0\) i funkcja g jest ciągła, więc w tym przedziale jest miejsce zerowe tej funkcji.
Dzielimy przedział na pół \(x_1=0,5\) i obliczamy \(g(0,5)=e^{0,5}-2=\sqrt e-2=\sqrt e -\sqrt 4<0\), więc miejsce zerowe jest w przedziale <0,5;1>, czyli \(0,5<x_0<1\).
Jeśli przyjmiemy \(x_0= \frac{0,5+1}{2} =0,75\), to z błędem nie przekraczającym \(\frac{1}{4}\) mamy miejsce zerowe funkcji g(x).
\(g(x_0) \approx =0 \iff f(x)-2 \approx 0 \iff f(x) \approx 2\)
Innych miejsc zerowych nie ma (przy takiej dokładności). Funkcja f jest rosnąca, więc jest tylko jedno miejsce zerowe.
Możemy przyjąć, że tym miejscem zerowym jest \(x_0 \approx 0,75\) z błędem nie większym niż 0,25.
Ponieważ \(g(0)=-2<0,\,\,\, g(1)=4e-2>0\) i funkcja g jest ciągła, więc w tym przedziale jest miejsce zerowe tej funkcji.
Dzielimy przedział na pół \(x_1=0,5\) i obliczamy \(g(0,5)=e^{0,5}-2=\sqrt e-2=\sqrt e -\sqrt 4<0\), więc miejsce zerowe jest w przedziale <0,5;1>, czyli \(0,5<x_0<1\).
Jeśli przyjmiemy \(x_0= \frac{0,5+1}{2} =0,75\), to z błędem nie przekraczającym \(\frac{1}{4}\) mamy miejsce zerowe funkcji g(x).
\(g(x_0) \approx =0 \iff f(x)-2 \approx 0 \iff f(x) \approx 2\)
Innych miejsc zerowych nie ma (przy takiej dokładności). Funkcja f jest rosnąca, więc jest tylko jedno miejsce zerowe.
Możemy przyjąć, że tym miejscem zerowym jest \(x_0 \approx 0,75\) z błędem nie większym niż 0,25.