granica ciągu

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
karolo48
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 19
Rejestracja: 10 lis 2018, 18:14
Płeć:

granica ciągu

Post autor: karolo48 »

Oblicz granicę \(\Lim_{n\to \infty }\frac{n-\sqrt{n^{2}-1}}{2n-\sqrt{4n^{2}+1}}\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: granica ciągu

Post autor: radagast »

karolo48 pisze:Oblicz granicę \(\Lim_{n\to \infty }\frac{n-\sqrt{n^{2}-1}}{2n-\sqrt{4n^{2}+1}}\)
\(\Lim_{n\to \infty }\frac{n-\sqrt{n^{2}-1}}{2n-\sqrt{4n^{2}+1}}=\Lim_{n\to \infty }\frac{n-\sqrt{n^{2}-1}}{2n-\sqrt{4n^{2}+1}} \cdot \frac{2n+\sqrt{4n^{2}+1}}{2n+\sqrt{4n^{2}+1}} \cdot \frac{n+\sqrt{n^{2}-1}}{n+\sqrt{n^{2}-1}} =\Lim_{n\to \infty }\frac{1}{-1} \cdot \frac{2n+\sqrt{4n^{2}+1}}{n+\sqrt{n^{2}-1}} =\Lim_{n\to \infty }\frac{1}{-1} \cdot \frac{2+\sqrt{4+ \frac{1}{n^{2}} }}{1+\sqrt{1- \frac{1}{n^{2}} }} =- \frac{4}{2}=-2\)
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

Pomnóż licznik i mianownik przez \((n+ \sqrt{n^2-1} )(2n+ \sqrt{4n^2+1})\)
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{(n^2-n^2+1)(2n+ \sqrt{4n^2+1}) }{(4n^2-4n^2-1)(n+ \sqrt{n^2-1}) }= \Lim_{n\to\infty } \frac{+1\cdot 2n(1+ \sqrt{1+ \frac{1}{4n^2} }) }{-1n(1+ \sqrt{1- \frac{1}{n^2} } )}=-2\)

n się skraca i pod pierwiastkami są 1+0-w liczniku i 1-0 w mianowniku.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
ODPOWIEDZ