całka wymierna

[zasadowy]

\(\int_{}^{} \frac{x^3}{x^3-27}\)
Prosze o pomoc, próbowałem sam ale nie wychodzi mi :/

[eresh]

A co sam zrobiłeś?

[zasadowy]

Podzieliłem licznik przez mianownik i po rozbiciu zacząłem szukać wielomianów A B i C. I na tym utknąłem bo nie wychodzą mi liczby które miałyby jakiś sens

[eresh]

\(\int\frac{x^3-27+27}{x^3-27}dx=\int dx+\int\frac{27}{(x-3)(x^2+3x+9)}
\\
\frac{27}{(x-3)(x^2+3x+9)}=\frac{A}{x-3}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+9}\)
do rozwiązania układ:
\(\begin{cases}A+B=0\\3A-3B+C=0\\9A-3C=27\end{cases}\)

[zasadowy]

\(\int\frac{x^3-27+27}{x^3-27}dx=\int dx+\int\frac{27}{(x-3)(x^2+3x+9)}
\\
\frac{27}{(x-3)(x^2+3x+9)}=\frac{A}{x-3}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+9}\)
do rozwiązania układ:
\(\begin{cases}A+B=0\\3A-3B+C=0\\9A-3C=27\end{cases}\)

Teraz już wszystko jasne. Dziękuje bardzo za pomoc
Mam tylko jedno pytanie. Czy zamiast odejmowania i dodawania 27 można było podzielić wielomiany (licznik przez mianownik) ? Wydaje mi się że wyszło by na to samo

[Galen]

Z dzielenia otrzymasz \(1+ \frac{27}{x^3-27}=...\)
I tak musisz zrobić rozkład na ułamki proste...

[eresh]

\(\int\frac{x^3-27+27}{x^3-27}dx=\int dx+\int\frac{27}{(x-3)(x^2+3x+9)}
\\
\frac{27}{(x-3)(x^2+3x+9)}=\frac{A}{x-3}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+9}\)
do rozwiązania układ:
\(\begin{cases}A+B=0\\3A-3B+C=0\\9A-3C=27\end{cases}\)

Teraz już wszystko jasne. Dziękuje bardzo za pomoc
Mam tylko jedno pytanie. Czy zamiast odejmowania i dodawania 27 można było podzielić wielomiany (licznik przez mianownik) ? Wydaje mi się że wyszło by na to samo

Wyszłoby to samo

[korki_fizyka]

zasadowy ma swoje zasady