Całki

[maarcin23]

Oblicz poniższe całki
a)\(\int_{0}^{1} xlnxdx\)
b) \(\int \frac{x+1}{x^{2}-2x+2}dx\)

[panb]

Najpierw policzę całkę nieoznaczoną - przez części.
\(\int x\ln x dx= \begin{vmatrix}u=\ln x & du= \frac{dx}{x} \\dv=x dx & v= \frac{1}{2}x^2 \end{vmatrix}= \frac{1}{2}x^2\ln x- \frac{1}{2}\int x dx=\frac{1}{2}x^2\ln x- \frac{1}{4}x^2\)

Ponieważ logarytm zera nie istnieje, więc
\(\int_{0}^{1}x\ln x dx= \Lim_{c\to 0^+} \int_{c}^{1}x\ln x dx= \Lim_{c\to 0^+} \left[ \left( \frac{1}{2}1^2 \cdot \ln 1- \frac{1}{4} \cdot 1^2 \right) - \left(\frac{1}{2}c^2\ln c- \frac{1}{4}c^2 \right)\right]= \Lim_{c\to 0^+} \left( - \frac{1}{4}- \frac{1}{2}c^2\ln c \right)\)

Ponieważ \(\Lim_{c\to 0^+ } c^2\ln c =0\) ( z de l'Hospitala), to \(\int_{0}^{1}x\ln x dx=- \frac{1}{4}\)

[eresh]

Oblicz poniższe całki

b) \(\int \frac{x+1}{x^{2}-2x+2}dx\)

\(\int\frac{x+1}{x^2-2x+2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-2+4}{x^2-2x+2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-2}{x^2-2x}dx+2\int\frac{dx}{(x-1)^2+1}=\frac{1}{2}\ln|x^2-2x+2|+2\arctg(x-1)+C\)