Problem z definicją

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Michu222
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 24 sty 2019, 16:14
Płeć:

Problem z definicją

Post autor: Michu222 »

Napisano,że "Jeśli funkcja f ma w punkcie\(X_0\) pochodną ujemną, to wartości tej funkcji są w lewostronnym sąsiedztwie tego punktu większe, a w prawostronnym − mniejsze niż w punkcie \(X_0\) .

to wydaje się zrozumiałe patrząc, że pochodna wskazuje monotoniczność
natomiast adnotacja dodaje, że:

"Przy tym f może nie być malejąca w żadnym otoczeniu\(X_0\)"

i tu mam problem, adnotacja jest sprawdzona przy przepisywaniu 3 razy

Bardzo proszę o wyjaśnienie

Tekst pochodzi z Tomu I, strona 286 podręcznika Leitnera , wydanie 2016
"Zarys matematyki wyższej dla studentów"
Crazy Driver
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1070
Rejestracja: 07 maja 2010, 12:48
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 357 razy

Re: Problem z definicją

Post autor: Crazy Driver »

Michu222 pisze:Napisano,że "Jeśli funkcja f ma w punkcie\(X_0\) pochodną ujemną, to wartości tej funkcji są w lewostronnym sąsiedztwie tego punktu większe, a w prawostronnym − mniejsze niż w punkcie \(X_0\) .

to wydaje się zrozumiałe patrząc, że pochodna wskazuje monotoniczność
To nawet jest proste do udowodnienia. Zrobię dla lewego sąsiedztwa.

W pewnym punkcie \(a\) zachodzi

\(\Lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0\)

W takim razie istnieje taka \(\delta>0\), że dla \(x\) z przedziału \((a-\delta,a)\) zachodzi \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0\)

Skoro \(x<a\), to \(x-a<0\), czyli

\(f(x)-f(a)>0\), stąd \(f(x)>f(a)\).
natomiast adnotacja dodaje, że:

"Przy tym f może nie być malejąca w żadnym otoczeniu\(X_0\)"

i tu mam problem, adnotacja jest sprawdzona przy przepisywaniu 3 razy

Bardzo proszę o wyjaśnienie

Tekst pochodzi z Tomu I, strona 286 podręcznika Leitnera , wydanie 2016
"Zarys matematyki wyższej dla studentów"
Wszystko w porządku. Najpierw odnotujmy, że nie ma tu żadnej sprzeczności. Wykazaliśmy przed chwilą, że w pewnym otoczeniu \(a\) wartości \(f\) z lewej strony \(a\) są większe od \(f(a)\). Monotniczność to byłoby coś więcej. W połączeniu z naszym stwierdzeniem oznaczałoby to, że jeśli dla pewnego \(x_0<a\) jest \(f(x_0)>f(a)\), to dla wszystkich \(x\in(x_0,a)\) zachodzi \(f(x_0)>f(x)\). Tak być nie musi. Oto przykład:

\(f(x)= \begin{cases} \left(3+\sin\left(\frac1{x^2}\right) \right)x^2-4x&\textrm{dla }x\neq0 \\0&\textrm{dla }x=0 \end{cases}\)

Sprawdzamy z definicji, że \(f'(0)=-4\). Z kolei licząc poza zerem pochodną ze wzorów i dobierając odpowiednie ciągi zbieżne do zera, można się przekonać, że w dowolnym otoczeniu zera może być ona zarówno dodatnia, jak i ujemna, co dowodzi, że \(f\) nie jest monotoniczna na żadnym przedziale wokół zera.

Najlepiej popatrzeć na wykres. Mamy \(-1\le \sin\left(\frac1{x^2}\right)\le 1\), czyli \(2x^2-4x\le \left(3+\sin\left(\frac1{x^2}\right) \right)x^2-4x\le 4x^2-4x\).
Zatem wykres funkcji \(f\) to sinusoida upchnięta między parabolami \(y=2x^2-4x\) i \(y=4x^2-4x\), stycznymi w zerze, których wspólna styczna ma równanie \(y=-4x\), co geometrycznie pokazuje, dlaczego \(f'(0)=-4\).
Korki z matmy, rozwiązywanie zadań
info na priv
ODPOWIEDZ