[Dowód] Twierdzenie o arytmetyce granic

[vb_]

Szukam dowodu twierdzenia o arytmetyce granic, a szczególnie własności \(1^\star.\)
Jeżeli ciągi \(a_n,b_n\) są zbieżne oraz
\(\lim_{n \rightarrow \infty}a_n = a, \lim_{n \rightarrow \infty}b_n = b\)
to:
\(1^\star. \lim_{n \rightarrow \infty}(a_n + b_n) = a +b\)

[eresh]

Szukam dowodu twierdzenia o arytmetyce granic, a szczególnie własności \(1^\star.\)
Jeżeli ciągi \(a_n,b_n\) są zbieżne oraz
\(\lim_{n \rightarrow \infty}a_n = a, \lim_{n \rightarrow \infty}b_n = b\)
to:
\(1^\star. \lim_{n \rightarrow \infty}(a_n + b_n) = a +b\)

\(\Lim_{n\to\infty}a_n=a \iff \forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta}\forall_{n\in\mathbb{N}}\;n>\delta\So |a_n-a|<\frac{\epsilon}{2}\\
\Lim_{n\to\infty}b_n=b \iff \forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta}\forall_{n\in\mathbb{N}}\;n>\delta\So |b_n-b|<\frac{\epsilon}{2}\\
|a_n+b_n-(a+b)|=|a_n-a+b_n-b|\leq |a_n-a|+|b_n-b|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}\\
|a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon\)
czyli dla każdego \(\epsilon\) znajdziemy \(\delta\), takie że dla każdego \(n>\delta\) prawdziwa jest nierówność \(|a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon\), a to oznacza, że \(\Lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=a+b\)

[panb]

Słabo szukasz. Dowodów jest full w podręcznikach i w necie. Popatrz TUTAJ