Znajdź funkcję odwrotną do funkcji \(f(x)=9^x-9^{-x}\)
oraz podaj \(Df^{-1}\) i \(Rf^{-1}\)
funkcja odwrotna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Co to jest \(Rf^{-1}\)?
Funkcja f jest określona i rosnąca w zbiorze \(\rr\) - obliczenie pochodnej dowodzi w prosty sposób rosnącości.
Żeby znaleźć funkcję odwrotną należy wyznaczyć y ze wzoru \(x=9^y-9^{-y}\)
Niech \(t=9^y>0\\
x=t+ \frac{1}{t} \iff t^2-tx-1=0 \So t_1= \frac{x-\sqrt{x^2+4}}{2}<0, \quad t_2= \frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}>0\)
Ponieważ interesują nas t>0, więc wstawiając \(t_2=9^y\), dostajemy
\(9^y= \frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2} \So y=\log_9\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}\)
Odpowiedź: \(f^{-1}(x)=\log_9\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}\), dla \(x\in \rr\)
Funkcja f jest określona i rosnąca w zbiorze \(\rr\) - obliczenie pochodnej dowodzi w prosty sposób rosnącości.
Żeby znaleźć funkcję odwrotną należy wyznaczyć y ze wzoru \(x=9^y-9^{-y}\)
Niech \(t=9^y>0\\
x=t+ \frac{1}{t} \iff t^2-tx-1=0 \So t_1= \frac{x-\sqrt{x^2+4}}{2}<0, \quad t_2= \frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}>0\)
Ponieważ interesują nas t>0, więc wstawiając \(t_2=9^y\), dostajemy
\(9^y= \frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2} \So y=\log_9\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}\)
Odpowiedź: \(f^{-1}(x)=\log_9\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}\), dla \(x\in \rr\)