forum.zadania.info

wykazać że żaden z ciągów nie ma granicy:
a) \(\frac{1+(-n)^n}{2-(-n)^n}\)
b) \(sin \frac{n \pi }{2}\)

Pierwszy ma granicę równą -1
Drugi jest okresowy:1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,... więc nie ma granicy.

W pierwszym podziel licznik i mianownik przez \(n^n\) i otrzymasz...
\(\frac{ \frac{1}{n^n}+(-1)^n }{\frac{2}{n^n}-(-1)^n}...\)
Licznik zmierza do -1,+1,-1,+1
Mianownik zmierza do +1,-1,+1,-1...
Iloraz liczb \(\frac{-1}{+1}= \frac{+1}{-1}=-1\)
I taka jest granica ciągu.

a dla
c) \((-1)^n\)
d) \(cos( \frac{n \pi }{2})\) ?

enta pisze:a dla
c) \((-1)^n\)

bierzemy dwa podciągi:
\(a_{2k}=(-1)^{2k} \to _{k\to\infty}1\\
a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}\to_{k\to \infty}-1\)
ciąg nie ma granicy

enta pisze:a dla

d) \(cos( \frac{n \pi }{2})\) ?

\(a_{4k}=\cos\frac{4k\pi}{2}=\cos 2k\pi\to 1\\
a_{4k+2}=\cos\frac{2(2k+1)\pi}{2}=\cos (2k+1)\pi\to-1\)
ciąg jest rozbieżny