Jak policzyć taką całkę?

[Bnsn1399]

\(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}dx\)
rozkładam ją na początku na \(\int x*\frac{x}{\sqrt{x^2-x+1}}dx\) i całkuję przez części - obliczam pochodną z \(x\) i całkę z \(\frac{x}{\sqrt{x^2-x+1}}\), na końcu dochodzę do całki \(\int ln(x- \frac{1}{2}+ \sqrt{x^2-x+1}) dx\) i nie potrafię już tego obliczyć Proszę o pomoc

[eresh]

\(\int \frac{x^2}{x^2-x+1}dx\)

\(\int\frac{x^2dx}{x^2-x+1}=\int dx+\int\frac{x-1}{x^2-x+1}dx=x+\frac{1}{2}\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx-\frac{1}{2}\int\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}=\\=x+\frac{1}{2}\ln |x^2-x+1|-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\arctg \frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C\)

[Bnsn1399]

\(\int\frac{x^2dx}{x^2-x+1}=\int dx+\int\frac{x-1}{x^2-x+1}dx=x+\frac{1}{2}\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx-\frac{1}{2}\int\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}=\\=x+\frac{1}{2}\ln |x^2-x+1|-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\arctg \frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C\)

Chodziło mi o całkę, w której w mianowniku jest pierwiastek, na początku napisałam ją błędnie, ale potem szybko poprawiłam. Potrafiłbyś z taką coś zrobić? :/

[eresh]

potrafiłAbym

słyszałaś o metodzie współczynników nieoznaczonych?

[Bnsn1399]

Niestety nie mieliśmy nic takiego na zajęciach :/

[eresh]

to może spróbujmy tak:

\(\int\frac{x^2dx}{\sqrt{(x-\frac{1}{2}})^2+\frac{3}{4}}\)
podstawiamy
\(x-\frac{1}{2}=t\\
x=t+\frac{1}{2}\\
dx=dt\\
\int\frac{(t+\frac{1}{2})^2dt}{\sqrt{t^2+\frac{3}{4}}}=\int\frac{t^2dt}{\sqrt{t^2+\frac{3}{4}}}+\int\frac{tdt}{\sqrt{t^2+\frac{3}{4}}}+\frac{1}{4}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+\frac{3}{4}}}\)
takie trzy całki potrafisz policzyć?

[Bnsn1399]

Kurcze, nareszcie udało mi się to policzyć dzięki twojej wskazówce. Dziękuję bardzo