całka

[peresbmw]

nie wiem jak to policzyć
Oblicz całkę korzystając z metody współczynników nieoznaczonych
\(\int \sqrt{9+6x-x^2}dx\)

[eresh]

\(I=\int\frac{-x^2+6x+9}{\sqrt{-x^2+6x+9}}dx=(ax+b)\sqrt{-x^2+6x+9}+K\int\frac{dx}{\sqrt{-x^2+6x+9}}\\
\frac{-x^2+6x+9}{\sqrt{-x^2+6x+9}}=a\sqrt{-x^2+6x+9}+(ax+b)\cdot\frac{-2x+6}{2\sqrt{-x^2+6x+9}}+K\cdot\frac{1}{\sqrt{-x^2+6x+9}}\\
-x^2+6x+9=a(-x^2+6x+9)+(ax+b)(-x+3)+K\\
-x^2+6x+9=-ax^2+6ax+9a-ax^2+3ax-bx+3b+K\\
-x^2+6x+9=-2ax^2+x(9a-b)+9a+3b+K\\
a=\frac{1}{2}\\
b=-\frac{3}{2}\\
K=9\\
\int\frac{-x^2+6x+9}{\sqrt{-x^2+6x+9}}dx=(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2})\sqrt{-x^2+6x+9}+9\int\frac{dx}{\sqrt{-x^2+6x+9}}=...\\\)