oblicz całki nieoznaczone:
a) ∫(x-3)/((x+5)∙(x+2) ) dx
b) ∫4/(3+5cosx) dx
całka nieoznaczona
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
b) tutaj trzeba podstawieniem, którego nie lubię - wzory do podstawienia są gotowe w podręczniku albo internecie.
\(\int \frac{4dx}{3+5\cos x}= \begin{vmatrix} t=\tg \frac{x}{2}\\ dx= \frac{2dt}{t^2+1 } \\ \cos x= \frac{1-t^2}{t^2+1} \end{vmatrix}=4\int \frac{2dt}{(t^2+1) \left( \frac{5(1-t^2)}{t^2+1}+3 \right) }=4\int \frac{dt}{4-t^2}\\
4\int \frac{dt}{4-t^2}= \frac{1}{4} \cdot 4\int \frac{dt}{1- \left(\frac{t}{2} \right) ^2 }= \begin{vmatrix} s= \frac{t}{2}\\dt=2ds \end{vmatrix}=2\int \frac{ds}{1-s^2}=\ln\frac{1+s}{1-s} +C\)
(rozkład na ułamki proste pozostawiam ci jako ćwiczenie), bo ... teraz wracamy z podstawieniami:
\(\ln\frac{1+s}{1-s}=\ln \frac{2+t}{2-t}=\ln \frac{2+\tg \frac{x}{2}}{2-\tg \frac{x}{2}}\)
Odp.: \(\int \frac{4dx}{3+5\cos x}=\ln \frac{2+\tg \frac{x}{2}}{2-\tg \frac{x}{2}}+C\)
(sprawdziłem różniczkując, że wynik jest ok, bo funkcje trygonometryczne mają rożne postacie))
\(\int \frac{4dx}{3+5\cos x}= \begin{vmatrix} t=\tg \frac{x}{2}\\ dx= \frac{2dt}{t^2+1 } \\ \cos x= \frac{1-t^2}{t^2+1} \end{vmatrix}=4\int \frac{2dt}{(t^2+1) \left( \frac{5(1-t^2)}{t^2+1}+3 \right) }=4\int \frac{dt}{4-t^2}\\
4\int \frac{dt}{4-t^2}= \frac{1}{4} \cdot 4\int \frac{dt}{1- \left(\frac{t}{2} \right) ^2 }= \begin{vmatrix} s= \frac{t}{2}\\dt=2ds \end{vmatrix}=2\int \frac{ds}{1-s^2}=\ln\frac{1+s}{1-s} +C\)
(rozkład na ułamki proste pozostawiam ci jako ćwiczenie), bo ... teraz wracamy z podstawieniami:
\(\ln\frac{1+s}{1-s}=\ln \frac{2+t}{2-t}=\ln \frac{2+\tg \frac{x}{2}}{2-\tg \frac{x}{2}}\)
Odp.: \(\int \frac{4dx}{3+5\cos x}=\ln \frac{2+\tg \frac{x}{2}}{2-\tg \frac{x}{2}}+C\)
(sprawdziłem różniczkując, że wynik jest ok, bo funkcje trygonometryczne mają rożne postacie))
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Czyli nic z tych całek nie rozumiesz?! Niemożliwe, ta druga całka jest dość zawiła.
\(\frac{1x-3}{(x+2)(x+5)}= \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+5} =\frac{A(x+5)+B(x+2)}{(x+2)(x+5)}= \frac{x(A+B)+5A+2B}{(x+2)(x+5)}\)
\(\frac{1x-3}{(x+2)(x+5)}\equiv \frac{x(A+B)+5A+2B}{(x+2)(x+5)}\), gdy \(\begin{cases} A+B=1 \\5A+2B=-3\end{cases}\)
Rozwiąż ten układ równań (to potrafisz, prawda?) i otrzymasz rozkład na ułamki proste.
Pokażę jak scałkować pierwszy składnik:
\(\int \frac{8dx}{3(x-5)} = \frac{8}{3} \int \frac{dx}{x+5} = \begin{vmatrix}\text{ podstawienie }\\ x+5=t\\dx=dt \end{vmatrix} =\frac{8}{3}\int \frac{dt}{t}= \frac{8}{3}\ln t=[\text{ wracamy z podstawieniem }]=\frac{8}{3}\ln(x+5)\)
Ty
\(\frac{1x-3}{(x+2)(x+5)}= \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+5} =\frac{A(x+5)+B(x+2)}{(x+2)(x+5)}= \frac{x(A+B)+5A+2B}{(x+2)(x+5)}\)
\(\frac{1x-3}{(x+2)(x+5)}\equiv \frac{x(A+B)+5A+2B}{(x+2)(x+5)}\), gdy \(\begin{cases} A+B=1 \\5A+2B=-3\end{cases}\)
Rozwiąż ten układ równań (to potrafisz, prawda?) i otrzymasz rozkład na ułamki proste.
Pokażę jak scałkować pierwszy składnik:
\(\int \frac{8dx}{3(x-5)} = \frac{8}{3} \int \frac{dx}{x+5} = \begin{vmatrix}\text{ podstawienie }\\ x+5=t\\dx=dt \end{vmatrix} =\frac{8}{3}\int \frac{dt}{t}= \frac{8}{3}\ln t=[\text{ wracamy z podstawieniem }]=\frac{8}{3}\ln(x+5)\)
Ty
- policz współczynniki A i B
- scałkuj drugi ułamek
