Całka Lenesgue’a

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
NieRozumiem85
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 162
Rejestracja: 30 sty 2016, 08:57
Podziękowania: 88 razy

Całka Lenesgue’a

Post autor: NieRozumiem85 »

Obliczyć całkę Lenesgue’a, korzystając z odpowiednich twierdzeń:
1. ∫[0,1] sin(x) dl
2. ∫[1,e] ln(x) dl

Obliczyć całkę Lebesgue’a z definicji:
1. ∫[0,3] f(x) dl, gdzie f(x) = 2\(χ\)[0,1](x) + 5\(χ\)[2,3](x).
2. ∫[0,1] f(x) dl, gdzie f(x) = x + 1.
3. ∫[−1,1] f(x) dl, gdzie f(x) = x.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Całka Lenesgue’a

Post autor: panb »

Odpowiednie twierdzenie:
  • Jeśli \(f\colon [a,b]\to\rr\) jest funkcją ograniczoną, całkowalną w sensie Riemanna, to \(f\) jest całkowalna w sensie Lebesgue'a na \([a,b]\). Obie całki - Riemanna i Lebesgue'a - funkcji \(f\) są równe.

    Wniosek: Dla każdej funkcji ciągłej \(f\colon [a,b]\to \rr\) zachodzi wzór
    \[\int_a^b f\, d\lambda_1 = F(b)-F(a),\]

    gdzie \(F\) jest jakąkolwiek funkcją pierwotną \(f\).
1. ∫[0,1] sin(x) dl
  • \(\int_{[0,1]}\sin x dl=-\cos1+\cos0=1-\cos1\)
2. ∫[1,e] ln(x) dl
  • \(\int_{[1,e]}\ln x dl= \left[ (e\ln e-e)-(1\ln1-1)\right] =1\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Całka Lenesgue’a

Post autor: radagast »

panb pisze:
1. ∫[0,1] sin(x) dl
  • \(\int_{[0,1]}\sin x dl=-\cos1+\cos0=1-\cos1\)
2. ∫[1,e] ln(x) dl
  • \(\int_{[1,e]}\ln x dl= (e\ln e-e)-(1\ln1-1)=1\)
No niezupełnie ... \(\int\sin x dl=l\sin x +C\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Myślę, że l jest zwykłą miarą na prostej i l([0,1])=1.
Nie ma mowy o żadnym l.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

\(\int_{[0,3]}f(x)d\ell=\int_{[0,1]}f(x)d\ell+\int_{(1,2)}f(x)d\ell+\int{[2,3]}f(x)d\ell=2 \cdot \ell([0,1])+0 \cdot \ell((1,2))+5 \cdot \ell([2,3])\)

\(\int_{[0,3]}f(x)d\ell=2(1-0)+5(3-2)=7\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

\(f(x)=x+1\) dla \(x\in[0,1]\) jest funkcja nieujemną.
Ma być z definicji, więc trzeba rozłożyć na funkcje proste. dzielimy przedział [0,1] na n równych przedziałów.
W każdym z nich ustalamy wartość na środku przedziału, czyli \(f \left( \frac{ \frac{k-1}{n} + \frac{k}{n} }{2} \right)=1+ \frac{2k-1}{2n}\)
Niech \(f_n(x)=1 \cdot \chi_{\{0\}}(x) +\sum_{k=1}^{n} \left( 1+ \frac{2k-1}{2n} \right)\chi_{( \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}] }(x), \text{ wtedy} \quad f(x)= \Lim_{n\to \infty } f_n(x)\)

\(\int_{[0,1]}f(x)d\ell = \Lim_{n\to \infty } \int_{[0,1]} \left[ \sum_{k=1}^{n} \left( 1+ \frac{2k-1}{2n} \right)\chi_{( \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}] }(x) \right] d\ell=\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \left[ \int_{[0,1]} \left( 1+ \frac{2k-1}{2n} \right)\chi_{( \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}] }(x) d\ell \right]=\\= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \left[ \left( 1+ \frac{2k-1}{2n} \right) \cdot \frac{1}{n} \right]=\lim_{n\to \infty} \left[1+ \frac{1}{2n^2}\sum_{k=1}^{n}(2k-1) \right]= \lim_{n\to \infty} \left(1+ \frac{1}{2n^2} \cdot n^2 \right)= \frac{3}{2}\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Dla trzeciej całki, trzeba funkcje f rozłożyć na \(f_+=\max(f,0)'\,\, \text{ oraz } \,\, f_-=-\min(f,0)\) i skorzystać z zależności \(f=f_+ - f_-\), przy czym obie funkcje \(f_+ \,\, i \,\, f_-\) są nieujemne. Wtedy
\[\int_A fd\ell = \int_A f_+ d\ell -\int_A f_- d\ell\]
ODPOWIEDZ