Obliczyć całkę Lenesgue’a, korzystając z odpowiednich twierdzeń:
1. ∫[0,1] sin(x) dl
2. ∫[1,e] ln(x) dl
Obliczyć całkę Lebesgue’a z definicji:
1. ∫[0,3] f(x) dl, gdzie f(x) = 2\(χ\)[0,1](x) + 5\(χ\)[2,3](x).
2. ∫[0,1] f(x) dl, gdzie f(x) = x + 1.
3. ∫[−1,1] f(x) dl, gdzie f(x) = x.
Całka Lenesgue’a
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Często tu bywam
- Posty: 162
- Rejestracja: 30 sty 2016, 08:57
- Podziękowania: 88 razy
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Całka Lenesgue’a
Odpowiednie twierdzenie:
- Jeśli \(f\colon [a,b]\to\rr\) jest funkcją ograniczoną, całkowalną w sensie Riemanna, to \(f\) jest całkowalna w sensie Lebesgue'a na \([a,b]\). Obie całki - Riemanna i Lebesgue'a - funkcji \(f\) są równe.
Wniosek: Dla każdej funkcji ciągłej \(f\colon [a,b]\to \rr\) zachodzi wzór
\[\int_a^b f\, d\lambda_1 = F(b)-F(a),\]
gdzie \(F\) jest jakąkolwiek funkcją pierwotną \(f\).
- \(\int_{[0,1]}\sin x dl=-\cos1+\cos0=1-\cos1\)
- \(\int_{[1,e]}\ln x dl= \left[ (e\ln e-e)-(1\ln1-1)\right] =1\)
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Całka Lenesgue’a
No niezupełnie ... \(\int\sin x dl=l\sin x +C\)panb pisze:
1. ∫[0,1] sin(x) dl2. ∫[1,e] ln(x) dl
- \(\int_{[0,1]}\sin x dl=-\cos1+\cos0=1-\cos1\)
- \(\int_{[1,e]}\ln x dl= (e\ln e-e)-(1\ln1-1)=1\)
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
\(f(x)=x+1\) dla \(x\in[0,1]\) jest funkcja nieujemną.
Ma być z definicji, więc trzeba rozłożyć na funkcje proste. dzielimy przedział [0,1] na n równych przedziałów.
W każdym z nich ustalamy wartość na środku przedziału, czyli \(f \left( \frac{ \frac{k-1}{n} + \frac{k}{n} }{2} \right)=1+ \frac{2k-1}{2n}\)
Niech \(f_n(x)=1 \cdot \chi_{\{0\}}(x) +\sum_{k=1}^{n} \left( 1+ \frac{2k-1}{2n} \right)\chi_{( \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}] }(x), \text{ wtedy} \quad f(x)= \Lim_{n\to \infty } f_n(x)\)
\(\int_{[0,1]}f(x)d\ell = \Lim_{n\to \infty } \int_{[0,1]} \left[ \sum_{k=1}^{n} \left( 1+ \frac{2k-1}{2n} \right)\chi_{( \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}] }(x) \right] d\ell=\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \left[ \int_{[0,1]} \left( 1+ \frac{2k-1}{2n} \right)\chi_{( \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}] }(x) d\ell \right]=\\= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \left[ \left( 1+ \frac{2k-1}{2n} \right) \cdot \frac{1}{n} \right]=\lim_{n\to \infty} \left[1+ \frac{1}{2n^2}\sum_{k=1}^{n}(2k-1) \right]= \lim_{n\to \infty} \left(1+ \frac{1}{2n^2} \cdot n^2 \right)= \frac{3}{2}\)
Ma być z definicji, więc trzeba rozłożyć na funkcje proste. dzielimy przedział [0,1] na n równych przedziałów.
W każdym z nich ustalamy wartość na środku przedziału, czyli \(f \left( \frac{ \frac{k-1}{n} + \frac{k}{n} }{2} \right)=1+ \frac{2k-1}{2n}\)
Niech \(f_n(x)=1 \cdot \chi_{\{0\}}(x) +\sum_{k=1}^{n} \left( 1+ \frac{2k-1}{2n} \right)\chi_{( \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}] }(x), \text{ wtedy} \quad f(x)= \Lim_{n\to \infty } f_n(x)\)
\(\int_{[0,1]}f(x)d\ell = \Lim_{n\to \infty } \int_{[0,1]} \left[ \sum_{k=1}^{n} \left( 1+ \frac{2k-1}{2n} \right)\chi_{( \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}] }(x) \right] d\ell=\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \left[ \int_{[0,1]} \left( 1+ \frac{2k-1}{2n} \right)\chi_{( \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}] }(x) d\ell \right]=\\= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \left[ \left( 1+ \frac{2k-1}{2n} \right) \cdot \frac{1}{n} \right]=\lim_{n\to \infty} \left[1+ \frac{1}{2n^2}\sum_{k=1}^{n}(2k-1) \right]= \lim_{n\to \infty} \left(1+ \frac{1}{2n^2} \cdot n^2 \right)= \frac{3}{2}\)