Reguła de L'Hospitala

[JakMakRak]

Witam. Mam problem z rozwiązaniem poniższych zadań. Ja sie gubię i zapętlam w nowe symbole nieoznaczone. Proszę o pomoc. Jeżeli komuś nie będzie się chciało wpisywać rozwiązania to proszę o informacje pod tematem, że rozwiazujacy mógłby przesłać zdjęcia na maila.
1) \(\ \Lim_{x->0- } (( \frac{1}{x} ) - ctgx ))\)

2) \(\ \Lim_{x->\infty } ( ( \sqrt{ x} - lnx ))\)

3) \(\ \Lim_{x->0+ } ( ( \sqrt{ x } * lnx ))\)

4)\(\ \Lim_{x->\pi- } ( ( \pi - x ) * \tg \frac{x}{2})\)

[radagast]

1) \(\ \Lim_{x->0- } (( \frac{1}{x} ) - ctgx ))\)

\(\Lim_{x->0^- } \frac{1}{x} - \ctg x=\Lim_{x->0^- } \frac{1}{x} - \frac{\cos x}{\sin x} =\Lim_{x->0^- } \frac{\sin x-x\cos x}{x\sin x} =^H=\Lim_{x->0^- } \frac{\cos x-\cos x+x\sin x}{\sin x+x\cos x}=\Lim_{x->0^- } \frac{x\sin x}{\sin x+x\cos x}=^H=\\\Lim_{x->0^- } \frac{\sin x+x\cos x}{\cos x+\cos x+x\sin x}= \frac{0}{2}=0\)

[radagast]

2) \(\ \Lim_{x->\infty } ( ( \sqrt{ x} - lnx ))\)

\(\ \Lim_{x->\infty } ( \sqrt{ x} - \ln x )= \Lim_{x->\infty } \sqrt{ x}( 1 - \frac{\ln x}{\sqrt{ x}} )=^H=\Lim_{x->\infty } \sqrt{ x}( 1 - \frac{ \frac{1}{x} }{ \frac{1}{2\sqrt{ x}} } )=\Lim_{x->\infty } \sqrt{ x}( 1 - \frac{2}{\sqrt{ x}} )= \infty\)

[radagast]

3) \(\ \Lim_{x->0+ } ( ( \sqrt{ x } * lnx ))\)

\(\ \Lim_{x->0+ } \sqrt{ x } * \ln x=\Lim_{x->0+ } \frac{ \ln x}{ \frac{1}{ \sqrt{ x }} }=\Lim_{x->0+ } \frac{ \ln x}{x^{- \frac{1}{2} } }=^H=\Lim_{x->0+ } \frac{ \frac{1}{x} }{- \frac{1}{2}x^{- \frac{3}{2} } }=\Lim_{x->0+ } -2 \cdot x^{-1} \cdot x^{ \frac{3}{2} }=\Lim_{x->0+ } -2 x^{ \frac{1}{2} }=0\)

[radagast]

4)\(\ \Lim_{x->\pi- } ( ( \pi - x ) * \tg \frac{x}{2})\)

\(\ \Lim_{x->\pi- } ( ( \pi - x ) * \tg \frac{x}{2})= \Lim_{x->\pi- } \frac{\pi - x}{\ctg \frac{x}{2}} =^H= \Lim_{x->\pi- } \frac{-1}{ -\frac{1}{sin^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} }=\Lim_{x->\pi- } 2sin^2 \frac{x}{2}=2\)