Udowodnij że funkcja potęgowa
\(y(x)=a(1-( \frac{x}{b} )^m)^n\)
jest malejąca dla \(x \in (0,b)\). Parametry \(a,b,n,m>0\).
Udowodnij że funkcja potęgowa jest malejąca.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Udowodnij że funkcja potęgowa jest malejąca.
Zacznijmy od tego, że dla \(x \in (0,b)\) prawdziwe są nierówności \(0<\frac{x}{b}<1\)
czyli \(0<\left(\frac{x}{b} \right) ^m<1\)
czyli \(-1<-\left(\frac{x}{b} \right) ^m<0\)
czyli \(0<1-\left(\frac{x}{b} \right) ^m<1\)
czyli \(0< \left(1-\left(\frac{x}{b} \right) ^m \right) ^n<1\)
I teraz można na dwa sposoby:
1) policzyć pochodną funkcji \(f(x)= \left(1-\left(\frac{x}{b} \right) ^m \right) ^n\) i pokazać , że jest ujemna.
2) pokazać, że \(f\) spełnia definicję funkcji malejącej.
Jak wolisz ?
czyli \(0<\left(\frac{x}{b} \right) ^m<1\)
czyli \(-1<-\left(\frac{x}{b} \right) ^m<0\)
czyli \(0<1-\left(\frac{x}{b} \right) ^m<1\)
czyli \(0< \left(1-\left(\frac{x}{b} \right) ^m \right) ^n<1\)
I teraz można na dwa sposoby:
1) policzyć pochodną funkcji \(f(x)= \left(1-\left(\frac{x}{b} \right) ^m \right) ^n\) i pokazać , że jest ujemna.
2) pokazać, że \(f\) spełnia definicję funkcji malejącej.
Jak wolisz ?