asymptoty

[alanowakk]

Wyznacz asymptoty funkcji
\(f(x)=xarctgx+ \frac{2}{x-1}\)

[panb]

Jest oczywiście asymptota pionowa x=1, z powodu \(\frac{2}{x-1}\).

Szukamy asymptoty ukośnej \(y=ax+b\):

• \(\Lim_{x\to+ \infty } \frac{f(x)}{x}= \Lim_{x\to+ \infty } \arctg x+ \frac{2}{x(x-1)} = \frac{\pi}{2}=a\)
  podobnie \(\Lim_{x\to- \infty } \frac{f(x)}{x}=- \frac{\pi}{2}\)
  \(\Lim_{x\to+ \infty } \left[ \frac{f(x)}{x}-ax \right]= \Lim_{x\to+ \infty } \left[x \left(\arctg x- \frac{\pi}{2} \right) + \frac{2}{x-1} \right] = \Lim_{x\to + \infty } \frac{\arctg x - \frac{\pi}{2} }{ \frac{1}{x} }+0=\)
  stosujemy regułę de l'Hospitala i otrzymujemy \(= \Lim_{x\to+ \infty } \frac{-x^2}{1+x^2} =-1\)

Asymptota ukośna ma równanie \(y= \frac{\pi}{2}x-1\)

Jest jeszcze jedna ukośna o współczynniku kierunkowym \(a=- \frac{\pi}{2}\).
Znajdź jej równanie samodzielnie, ok?

[alanowakk]

Pomyliłam się powinno być arcctgx a nie arcctgx, poradzę sobie z tym tylko proszę o pomoc w wyliczeniu współczynnika a bo nie bardzo wiem jak ta granicą jest wyliczona

[Galen]

\(\Lim_{x\to \infty } \frac{arcctg x}{x}= \frac{0}{ \infty }=0\)

[alanowakk]

Tzn \(f(x)=xarcctgx+ \frac{2}{x-1}\) nie sam arcctgx

[panb]

pionowa bz, ale pojawia się pozioma.
Przypomnę:

• \(\Lim_{x\to \pm \infty }\arcctg x=0\)

\(\Lim_{x\to \infty }f(x)= \Lim_{x\to \infty } x\arcctg x+0= \Lim_{x\to \infty } \frac{\arcctg x}{ \frac{1}{x} }\) - dalej de l'Hospitalem.

[alanowakk]

czyli mamy pionową x=1 i poziomą y=1?
bez ukośnej?

[radagast]

Jest i ukośna \(y=\pi x +1\). Tylko, że lewostronna.

[alanowakk]

Ale a mi wyszło 0 jak wychodzi \(\pi\)?

[panb]

Ukośnej nie ma. Dobrze ci wyszło.

[radagast]

Wykres jest taki:

ScreenHunter_513.jpg (37.06 KiB) Przejrzano 1055 razy

a rachunek taki:
\(a=\Lim_{x\to - \infty } \frac{x \arcctg x + \frac{2}{x-1} }{x}=\Lim_{x\to - \infty } \arcctg x + \frac{2}{x^2-x} =\pi-0=\pi\)
\(b=...\)

[panb]

Oto co na to wolfram (i ja się z nim zgadzam).

cot.gif (1.46 KiB) Przejrzano 1054 razy

A wykres u mnie wygląda tak:

rys.png (7.32 KiB) Przejrzano 1054 razy

[radagast]

Przeanalizuj jeszcze raz swój wykres. Moim zdaniem jest błędny.
A wykres funkcji \(y= arcctg\) wygląda tak:

ScreenHunter_514.jpg (21.7 KiB) Przejrzano 1045 razy

[panb]

co wpisujesz w graphmatice, żeby uzyskać taki wykres?

[radagast]

y=-atan(x) +pi/2