funkcja odwrotna

[peresbmw]

wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji
\(y= \frac { \log _4(x-1)}{3- \log _4(x-1)}-2\)
Podaj ich dziedziny i przeciwdziedziny.

[radagast]

wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji
\(y= \frac { \log _4(x-1)}{3- \log _4(x-1)}-2\)
Podaj ich dziedziny i przeciwdziedziny.

Dziedzina podanej funkcji:
\(\begin{cases}x-1>0\\ \log _4(x-1) \neq 3 \end{cases}\)
a więc jest to zbiór\(\left( 1,65\right) \cup \left(65, \infty \right)\)
Aby wyznaczyć funkcję odwrotną należy ze wzoru funkcji wyznaczyć x.
\(y= \frac { \log _4(x-1)}{3- \log _4(x-1)}-2\)
podstawmy \(t=\log _4(x-1)\)
\(y= \frac { t}{3- t}-2\)
\(y+2= \frac { t}{3- t}\)
\(\frac{1}{y+2} = \frac { 3- t}{t}\)
\(\frac{1}{y+2} = \frac { 3}{t}-1\)
\(\frac { 3}{t}=\frac{1}{y+2} +1\)
\(\frac { 3}{t}=\frac{y+3}{y+2}\)
\(\frac { t}{3}=\frac{y+2}{y+3}\)
\(t=\frac{3y+6}{y+3}\)
\(\log _4(x-1)=\frac{3y+6}{y+3}\)
\(x-1=4^\frac{3y+6}{y+3}\)
\(x=4^\frac{3y+6}{y+3}+1\)

Funkcją odwrotną do podanej funkcji jest \(y=4^\frac{3x+6}{x+3}+1\),
jej dziedziną jest zbiór \(R \bez \left\{-3 \right\}\)
Uwaga:
Przeciwdziedzina funkcji to dziedzina funkcji odwrotnej.

[peresbmw]

Dziękuję