Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji:
f(x)= \(\frac{ \sin(2x)}{ \sin(x)-1}\)
Asymptoty
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Re: Asymptoty
Możesz rozpisać dowód na to że granica nie istnieje? Próbowałam z tw. o 3 funkcjach ale niestety nie wiem jak to poprawnie zapisać.
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
To norma dla funkcji trygonometrycznych. Trzeba podać dwa podciągi o różnych granicach.
Pokażę dla tej funkcji (bo już późno): \(f(x)= \frac{\sin2x}{\sin x-1}\)
Niech \(x_n= \frac{\pi}{4}+2n\pi\) oraz \(y_n=n\pi\). Prawdą jest, że \(\Lim_{n\to \infty } x_n= \Lim_{n\to \infty } y_n=+ \infty\)
Zauważmy, że \(f(x_n)=\frac{\sin2( \frac{\pi}{4}+2n\pi)}{\sin( \frac{\pi}{4}+2n\pi)-1}= \frac{\sin \left( \frac{\pi}{2}+4n\pi \right) }{\sin \frac{\pi}{4}-1 }= \frac{1}{ \frac{ \sqrt{2} }{2}-1 }=-\sqrt2 -2\)
Zatem \(\Lim_{n\to \infty } f(x_n)=-\sqrt2 -2\)
Teraz policz \(f(y_n)\) i zobacz jaka jest wtedy granica.
Jeśli będzie inna niż tamta, to znaczy, że granica nie istnieje.
Pokażę dla tej funkcji (bo już późno): \(f(x)= \frac{\sin2x}{\sin x-1}\)
Niech \(x_n= \frac{\pi}{4}+2n\pi\) oraz \(y_n=n\pi\). Prawdą jest, że \(\Lim_{n\to \infty } x_n= \Lim_{n\to \infty } y_n=+ \infty\)
Zauważmy, że \(f(x_n)=\frac{\sin2( \frac{\pi}{4}+2n\pi)}{\sin( \frac{\pi}{4}+2n\pi)-1}= \frac{\sin \left( \frac{\pi}{2}+4n\pi \right) }{\sin \frac{\pi}{4}-1 }= \frac{1}{ \frac{ \sqrt{2} }{2}-1 }=-\sqrt2 -2\)
Zatem \(\Lim_{n\to \infty } f(x_n)=-\sqrt2 -2\)
Teraz policz \(f(y_n)\) i zobacz jaka jest wtedy granica.
Jeśli będzie inna niż tamta, to znaczy, że granica nie istnieje.