Asymptoty

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Bbbb
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 03 gru 2018, 20:40
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Asymptoty

Post autor: Bbbb »

Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji:
f(x)= \(\frac{ \sin(2x)}{ \sin(x)-1}\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

asymptoty pionowe: \(x= \frac{k\pi}{2},\,\,k\in \cc\)

Funkcja jest okresowa (okres \(2\pi\)) i nie ma asymptot poziomych ani ukośnych:
  • granica \(\Lim_{x\to \pm \infty } f(x)\) nie istnieje - brak poziomej
    granica \(\Lim_{x\to \pm \infty } \frac{f(x)}{x}\) też nie istnieje - brak ukośnej.
Bbbb
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 03 gru 2018, 20:40
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Re: Asymptoty

Post autor: Bbbb »

Możesz rozpisać dowód na to że granica nie istnieje? Próbowałam z tw. o 3 funkcjach ale niestety nie wiem jak to poprawnie zapisać.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

To norma dla funkcji trygonometrycznych. Trzeba podać dwa podciągi o różnych granicach.
Pokażę dla tej funkcji (bo już późno): \(f(x)= \frac{\sin2x}{\sin x-1}\)
Niech \(x_n= \frac{\pi}{4}+2n\pi\) oraz \(y_n=n\pi\). Prawdą jest, że \(\Lim_{n\to \infty } x_n= \Lim_{n\to \infty } y_n=+ \infty\)

Zauważmy, że \(f(x_n)=\frac{\sin2( \frac{\pi}{4}+2n\pi)}{\sin( \frac{\pi}{4}+2n\pi)-1}= \frac{\sin \left( \frac{\pi}{2}+4n\pi \right) }{\sin \frac{\pi}{4}-1 }= \frac{1}{ \frac{ \sqrt{2} }{2}-1 }=-\sqrt2 -2\)
Zatem \(\Lim_{n\to \infty } f(x_n)=-\sqrt2 -2\)

Teraz policz \(f(y_n)\) i zobacz jaka jest wtedy granica.

Jeśli będzie inna niż tamta, to znaczy, że granica nie istnieje.
Bbbb
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 03 gru 2018, 20:40
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Re: Asymptoty

Post autor: Bbbb »

Dziękuję bardzo! :D
ODPOWIEDZ