Ciągłość funckcji

[maarcin23]

Wyznacz, o ile istnieją wartości parametrów S,T aby funkcja
\(f(x)=
\begin{cases}
lnT+1+(\frac{cosx}{x}-\frac{e^{x}}{sinx}), dla x<0 \\
\frac{1-2π}{4}+arcctg\frac{x}{2}, dla 0 \le x \le 2\\
S+\frac{sin(x-2)}{x^{2}-4}+(x-2)ln(x-2), dla x>2
\end{cases}\)
była ciągła

[radagast]

Wyznacz, o ile istnieją wartości parametrów S,T aby funkcja
\(f(x)=
\begin{cases}
lnT+1+(\frac{cosx}{x}-\frac{e^{x}}{sinx}), dla x<0 \\
\frac{1-2π}{4}+arcctg\frac{x}{2}, dla 0 \le x \le 2\\
S+\frac{sin(x-2)}{x^{2}-4}+(x-2)ln(x-2), dla x>2
\end{cases}\)
była ciągła

\(\Lim_{x\to 0^-} f(x)= \Lim_{x\to 0^-} lnT+1+(\frac{cosx}{x}-\frac{e^{x}}{sinx})= \Lim_{x\to 0^-} lnT+1+\frac{ \frac{1}{2} \sin 2x-x e^x}{x\sin x}=^H= \Lim_{x\to 0^-} lnT+1+\frac{\cos 2x -e^x-xe^x}{\sin x+x\cos x}=\\
=^H= \Lim_{x\to 0^-} lnT+1+\frac{-2\sin 2x -e^x-e^x-xe^x}{\cos x+\cos x-x\sin x}= \Lim_{x\to 0^-} lnT+1+\frac{-2}{2}=lnT\)

\(\Lim_{x\to 0^+} f(x)=\Lim_{x\to 0^+} \frac{1-2π}{4}+\arcctg\frac{x}{2}=\frac{1-2π}{4}+\frac{ \pi }{2}= \frac{1}{4}\)

\(\ln T= \frac{1}{4} \iff T= \sqrt[4]{e}\)
\(\Lim_{x\to 2^-} f(x)= \Lim_{x\to 2^-}\frac{1-2π}{4}+arcctg\frac{x}{2}=\frac{1-2π}{4}+arcctg 1=\frac{1-2π}{4}+ \frac{ \pi }{4}=\frac{1-π}{4}\)
\(\Lim_{x\to 2^+} f(x)=\Lim_{x\to 2^+} S+\frac{\sin(x-2)}{x^{2}-4}+(x-2)\ln(x-2)=\Lim_{x\to 2^+} S+\frac{\sin(x-2)}{(x-2)(x+2)}+(x-2)\ln(x-2)=\\ \Lim_{x\to 2^+} S+\frac{1}{x+2}=S+ \frac{1}{4}\)

\(\frac{1-π}{4}=S+ \frac{1}{4} \iff S=- \frac{ \pi }{4}\)
UWAGA: taka funkcja jest ciągła w swojej dziedzinie ale nie jest ciągła w R

Mojemu komputerowi wyszedł taki wykres:

ScreenHunter_510.jpg (20.29 KiB) Przejrzano 836 razy