forum.zadania.info

jak policzyć tą całkę?
\(\int \frac{1}{cosx}\) dx

i teraz podzielić na dwie całki? ale jak obliczyć \(\int \frac{sin^2x}{cosx} dx\)

Przez podstawienie: \(\cos x=t\)

i wtedy wyjdzie \(\int \frac{1}{t}\) ?

Nie. Przecież \(\sin^2x=1-\cos^2x\)

Niestety tu trzeba przejść z cos x na tg połowy argumentu.Podstawia się \(t=tg \frac{1}{2}x\)
\(\frac{1}{cos^2 \frac{1}{2} x} =1+tg^2 \frac{1}{2}x\\cos^2 \frac{1}{2}x= \frac{1}{1+t^2}\;\;\;i\;\;cosx=cos(2\cdot \frac{1}{2}x)=2cos^2 \frac{1}{2}x-1=2 \cdot \frac{1}{1+t^2}-1= \frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\int_{}^{} \frac{1}{cosx}dx= \int_{}^{} \frac{1+t^2}{1-t^2} \cdot \frac{2}{1+t^2}dt= \int_{}^{} \frac{2}{1-t^2}dt=\\= \int_{}^{} (\frac{1}{1+t}+ \frac{1}{1-t})=\\liczysz\;dwie\;całki\;i\; dojedziesz\;do\;wyniku...\\=ln \frac{|1+t|}{|1-t|}\)
Powracasz do \(t=tg \frac{1}{2}x\)...
Potem dojedziesz do
\(ln|tg( \frac{x}{2}+ \frac{\pi}{4})|\)

mayby:
\(\int \frac{1}{\cos x} dx= \int_{}^{} \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx= \int_{}^{} \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} dx= \left[t=\sin x \right] = \int_{}^{} \frac{dt}{1-t^2}=...\)