jak policzyć tą całkę?
\(\int \frac{1}{cosx}\) dx
całka
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Niestety tu trzeba przejść z cos x na tg połowy argumentu.Podstawia się \(t=tg \frac{1}{2}x\)
\(\frac{1}{cos^2 \frac{1}{2} x} =1+tg^2 \frac{1}{2}x\\cos^2 \frac{1}{2}x= \frac{1}{1+t^2}\;\;\;i\;\;cosx=cos(2\cdot \frac{1}{2}x)=2cos^2 \frac{1}{2}x-1=2 \cdot \frac{1}{1+t^2}-1= \frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\int_{}^{} \frac{1}{cosx}dx= \int_{}^{} \frac{1+t^2}{1-t^2} \cdot \frac{2}{1+t^2}dt= \int_{}^{} \frac{2}{1-t^2}dt=\\= \int_{}^{} (\frac{1}{1+t}+ \frac{1}{1-t})=\\liczysz\;dwie\;całki\;i\; dojedziesz\;do\;wyniku...\\=ln \frac{|1+t|}{|1-t|}\)
Powracasz do \(t=tg \frac{1}{2}x\)...
Potem dojedziesz do
\(ln|tg( \frac{x}{2}+ \frac{\pi}{4})|\)
\(\frac{1}{cos^2 \frac{1}{2} x} =1+tg^2 \frac{1}{2}x\\cos^2 \frac{1}{2}x= \frac{1}{1+t^2}\;\;\;i\;\;cosx=cos(2\cdot \frac{1}{2}x)=2cos^2 \frac{1}{2}x-1=2 \cdot \frac{1}{1+t^2}-1= \frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\int_{}^{} \frac{1}{cosx}dx= \int_{}^{} \frac{1+t^2}{1-t^2} \cdot \frac{2}{1+t^2}dt= \int_{}^{} \frac{2}{1-t^2}dt=\\= \int_{}^{} (\frac{1}{1+t}+ \frac{1}{1-t})=\\liczysz\;dwie\;całki\;i\; dojedziesz\;do\;wyniku...\\=ln \frac{|1+t|}{|1-t|}\)
Powracasz do \(t=tg \frac{1}{2}x\)...
Potem dojedziesz do
\(ln|tg( \frac{x}{2}+ \frac{\pi}{4})|\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: całka
mayby:
\(\int \frac{1}{\cos x} dx= \int_{}^{} \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx= \int_{}^{} \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} dx= \left[t=\sin x \right] = \int_{}^{} \frac{dt}{1-t^2}=...\)
\(\int \frac{1}{\cos x} dx= \int_{}^{} \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx= \int_{}^{} \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} dx= \left[t=\sin x \right] = \int_{}^{} \frac{dt}{1-t^2}=...\)