całka

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
enta
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 368
Rejestracja: 18 mar 2018, 14:33
Podziękowania: 100 razy
Płeć:

całka

Post autor: enta » 01 gru 2018, 22:22

jak policzyć tą całkę?
\(\int \frac{1}{cosx}\) dx

enta
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 368
Rejestracja: 18 mar 2018, 14:33
Podziękowania: 100 razy
Płeć:

Re: całka

Post autor: enta » 02 gru 2018, 13:28

i teraz podzielić na dwie całki? ale jak obliczyć \(\int \frac{sin^2x}{cosx} dx\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3147
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1069 razy
Płeć:

Post autor: panb » 02 gru 2018, 14:47

Przez podstawienie: \(\cos x=t\)

enta
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 368
Rejestracja: 18 mar 2018, 14:33
Podziękowania: 100 razy
Płeć:

Re: całka

Post autor: enta » 02 gru 2018, 15:06

i wtedy wyjdzie \(\int \frac{1}{t}\) ?

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3147
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1069 razy
Płeć:

Post autor: panb » 02 gru 2018, 15:21

Nie. Przecież \(\sin^2x=1-\cos^2x\)

Galen
Guru
Guru
Posty: 18194
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9032 razy

Post autor: Galen » 02 gru 2018, 21:23

Niestety tu trzeba przejść z cos x na tg połowy argumentu.Podstawia się \(t=tg \frac{1}{2}x\)
\(\frac{1}{cos^2 \frac{1}{2} x} =1+tg^2 \frac{1}{2}x\\cos^2 \frac{1}{2}x= \frac{1}{1+t^2}\;\;\;i\;\;cosx=cos(2\cdot \frac{1}{2}x)=2cos^2 \frac{1}{2}x-1=2 \cdot \frac{1}{1+t^2}-1= \frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\int_{}^{} \frac{1}{cosx}dx= \int_{}^{} \frac{1+t^2}{1-t^2} \cdot \frac{2}{1+t^2}dt= \int_{}^{} \frac{2}{1-t^2}dt=\\= \int_{}^{} (\frac{1}{1+t}+ \frac{1}{1-t})=\\liczysz\;dwie\;całki\;i\; dojedziesz\;do\;wyniku...\\=ln \frac{|1+t|}{|1-t|}\)
Powracasz do \(t=tg \frac{1}{2}x\)...
Potem dojedziesz do
\(ln|tg( \frac{x}{2}+ \frac{\pi}{4})|\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1345
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 576 razy
Płeć:

Re: całka

Post autor: kerajs » 03 gru 2018, 15:58

mayby:
\(\int \frac{1}{\cos x} dx= \int_{}^{} \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx= \int_{}^{} \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} dx= \left[t=\sin x \right] = \int_{}^{} \frac{dt}{1-t^2}=...\)