Granice ciagów

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
zaqws
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 10 lis 2018, 21:06
Podziękowania: 8 razy

Granice ciagów

Post autor: zaqws »

Obliczyć granicę ciągu:

a) \(\Lim_{n\to \infty } \sqrt{4n^2 + n + 1} - \sqrt{n^2 + n +1} - n\)
b)\(\Lim_{n\to \infty } \frac{1+2+...+n}{n^3 + 1} * \cos n!\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Granice ciagów

Post autor: panb »

a)
  • \(\Lim_{n\to \infty } \sqrt{4n^2 + n + 1} - \sqrt{n^2 + n +1} - n=\Lim_{n\to \infty } \left[ \sqrt{4n^2 + n + 1}- \left( \sqrt{n^2 + n +1} + n\right) \right]=\\
    =\Lim_{n\to \infty } \frac{4n^2+n+1- \left( \sqrt{n^2+n+1}+n\right)^2 }{ \sqrt{4n^2 + n + 1}+ \left( \sqrt{n^2 + n +1} + n\right)}= \Lim_{n\to \infty }\frac{2n^2-2n\sqrt{n^2+n+1}}{ \sqrt{4n^2 + n + 1}+ \sqrt{n^2 + n +1} + n}=2\Lim_{n\to \infty } \frac{n^4-n^2(n^2+n+1)}{ \left( \sqrt{4n^2 + n + 1}+ \sqrt{n^2 + n +1} + n\right) \left(n^2+n\sqrt{n^2+n+1} \right) }=\\
    =2\Lim_{n\to \infty } \frac{-n^3(1+1/n^2+1/n^3)}{n^3 \left( \sqrt{4+1/n+1/n^2}+\sqrt{1+1/n+1/n^2}+1\right) \left(1+\sqrt{1+1/n+1/n^2} \right) }=-2 \cdot \frac{1}{(2+1+1)(1+1)}=- \frac{1}{4}\)
Gdyby nie kopiuj - wklej, byłaby to katorga! :)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Granice ciagów

Post autor: panb »

b)
  • \(-1\le \cos n! \le 1\\-\frac{1+2+...+n}{n^3 + 1}\le \frac{1+2+...+n}{n^3 + 1} * \cos n! \le \frac{1+2+...+n}{n^3 + 1} \\
    \Lim_{n\to \infty } \frac{1+2+...+n}{n^3 + 1}= \Lim_{n\to \infty } \frac{n(n+1)}{2(n^3+1)}=0\)
    ,
    więc na mocy twierdzenia ...
    \(\Lim_{n\to \infty } \frac{1+2+...+n}{n^3 + 1} * \cos n!=0\)
ODPOWIEDZ