Obliczyć granicę ciągu:
a) \(\Lim_{n\to \infty } \sqrt{4n^2 + n + 1} - \sqrt{n^2 + n +1} - n\)
b)\(\Lim_{n\to \infty } \frac{1+2+...+n}{n^3 + 1} * \cos n!\)
Granice ciagów
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Granice ciagów
a)
- \(\Lim_{n\to \infty } \sqrt{4n^2 + n + 1} - \sqrt{n^2 + n +1} - n=\Lim_{n\to \infty } \left[ \sqrt{4n^2 + n + 1}- \left( \sqrt{n^2 + n +1} + n\right) \right]=\\
=\Lim_{n\to \infty } \frac{4n^2+n+1- \left( \sqrt{n^2+n+1}+n\right)^2 }{ \sqrt{4n^2 + n + 1}+ \left( \sqrt{n^2 + n +1} + n\right)}= \Lim_{n\to \infty }\frac{2n^2-2n\sqrt{n^2+n+1}}{ \sqrt{4n^2 + n + 1}+ \sqrt{n^2 + n +1} + n}=2\Lim_{n\to \infty } \frac{n^4-n^2(n^2+n+1)}{ \left( \sqrt{4n^2 + n + 1}+ \sqrt{n^2 + n +1} + n\right) \left(n^2+n\sqrt{n^2+n+1} \right) }=\\
=2\Lim_{n\to \infty } \frac{-n^3(1+1/n^2+1/n^3)}{n^3 \left( \sqrt{4+1/n+1/n^2}+\sqrt{1+1/n+1/n^2}+1\right) \left(1+\sqrt{1+1/n+1/n^2} \right) }=-2 \cdot \frac{1}{(2+1+1)(1+1)}=- \frac{1}{4}\)
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Granice ciagów
b)
- \(-1\le \cos n! \le 1\\-\frac{1+2+...+n}{n^3 + 1}\le \frac{1+2+...+n}{n^3 + 1} * \cos n! \le \frac{1+2+...+n}{n^3 + 1} \\
\Lim_{n\to \infty } \frac{1+2+...+n}{n^3 + 1}= \Lim_{n\to \infty } \frac{n(n+1)}{2(n^3+1)}=0\),
więc na mocy twierdzenia ...
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{1+2+...+n}{n^3 + 1} * \cos n!=0\)