forum.zadania.info

Napotkałem zadanie z granicami ciągów, i za nic w świecie nie potrafię sobie przypomnieć jak to zrobić. Przydałoby mi się rozwiązanie dwóch (bo dwóch typów nie umiem) a reszta pójdzie już na tej samej zasadzie. I byłbym również wdzięczny za wytłumaczenie, bo rozwiązanie do jednego mam, ale jest tam przeskok myślowy i nie wiem co autor miał na myśli.

\(\lim _{n\to \infty }\left(\frac{1}{n}\left(2+4+...\:+2n\right)-\frac{1}{2}\left(2n-1\right)\right)\)

\(\lim _{n\to \infty }\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)

1)
\(2+4+6+...+2n= \frac{2+2n}{2} \cdot n=n(1+n)\\ \Lim_{n\to \infty }( \frac{1}{n} \cdot n(1+n)-n+ \frac{1}{2}= \Lim_{n\to \infty }(1+n-n+ \frac{1}{2})= \frac{3}{2}\)
2)
\(\frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3} \frac{1}{3 \cdot 4}+...+ \frac{1}{n(n+1)}= 1-\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}- \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}=\\=1- \frac{1}{n+1}= \frac{n+1-1}{n+1}= \frac{n}{n+1}\\ \Lim_{n\to \infty }( \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{n(n+1)} )= \Lim_{n\to \infty } \frac{n}{n+1}= \Lim_{n\to \infty } \frac{1}{1+ \frac{1}{n} }= \frac{1}{1+0}=1\)

Dobra, rozumiem. Do pierwszego trzeba właśnie tego wzoru użyć, do drugiego widzę wzoru nie ma tylko trzeba samemu zauważyć, na szczęście takich zadań dużo nie ma.

Dziękuję bardzo za pomoc.