Dana jest piramida P o wierzchołkach: (0,0,0), (2,0,0), (0,1,0), (3,3,3). Obliczyć \(\iiint_P z \,dx\,dy\,dz\)
Trzeba całkę sparametryzować, lecz kompletnie nie wiem jak to zrobić. Ten czubek pochylony utrudnia cała sprawę....
Z góry dziękuję za odpowiedzi.
Calka po piramidzie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Calka po piramidzie
Wprawdzie nie wiem jak to sparametryzować ale wiem , że ma wyjść 1.
Bo jak piramida ma w podstawie trójkąt prostokątny o polu 1 i wysokość 3, to jej objętość wynosi 1.
Bo jak piramida ma w podstawie trójkąt prostokątny o polu 1 i wysokość 3, to jej objętość wynosi 1.
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
O ile dobrze widzę to nie jest to całka z jedynki, więc nie wyraża ona objętości czworościanu.
Niech A= (0,0,0), B=(2,0,0), C=(0,1,0), S=(3,3,3).
Oblicz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A,B,S i przedstaw je w postaci \(z=f_1(x,y)\)
Oblicz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A,C,S i przedstaw je w postaci \(z=f_2(x,y)\)
Oblicz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty B,C,S i przedstaw je w postaci \(z=f_1(x,y)\)
Wtedy:
\(\int_{}^{} \int_{}^{} \int_{P}^{}zdP= \int_{0}^{3} \left( \int_{y}^{ \frac{y}{3}+2 } \left( \int_{0}^{f_1}z dz \right) dx \right) dy+\int_{0}^{3} \left( \int_{x}^{ \frac{2x}{3}+1 } \left( \int_{0}^{f_2}z dz \right) dy \right) dx-\\
-
\int_{0}^{2} \left( \int_{\frac{-x}{2}+1}^{ \frac{2x}{3}+1 } \left( \int_{0}^{f_3}z dz \right) dy \right) dx-
\int_{2}^{3} \left( \int_{ 3x-6 }^{ \frac{2x}{3}+1 } \left( \int_{0}^{f_3}z dz \right) dy \right) dx\)
Niech A= (0,0,0), B=(2,0,0), C=(0,1,0), S=(3,3,3).
Oblicz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A,B,S i przedstaw je w postaci \(z=f_1(x,y)\)
Oblicz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A,C,S i przedstaw je w postaci \(z=f_2(x,y)\)
Oblicz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty B,C,S i przedstaw je w postaci \(z=f_1(x,y)\)
Wtedy:
\(\int_{}^{} \int_{}^{} \int_{P}^{}zdP= \int_{0}^{3} \left( \int_{y}^{ \frac{y}{3}+2 } \left( \int_{0}^{f_1}z dz \right) dx \right) dy+\int_{0}^{3} \left( \int_{x}^{ \frac{2x}{3}+1 } \left( \int_{0}^{f_2}z dz \right) dy \right) dx-\\
-
\int_{0}^{2} \left( \int_{\frac{-x}{2}+1}^{ \frac{2x}{3}+1 } \left( \int_{0}^{f_3}z dz \right) dy \right) dx-
\int_{2}^{3} \left( \int_{ 3x-6 }^{ \frac{2x}{3}+1 } \left( \int_{0}^{f_3}z dz \right) dy \right) dx\)
Wiem, że już minęło trochę czasu od kiedy dałam ten post, niemniej może jednak jeszcze ktoś będzie tak miły i mi pomoże:
Wyliczyłam równania płaszczyzn, kilka razy sprawdzałam, więc nie powinno być błędu:
ABS -> z=y
ACS -> z=x
BCS -> \(z= \frac{3}{7} x + \frac{6}{7}y - \frac{6}{7}\)
Całkę iterowaną liczyłam wpierw sama, potem sprawdziłam z programem mathematica i choć powinno wyjść 1, uparcie wychodzi \(\frac{3}{4}\)
Już nie wiem co robić, tym bardziej że nie do końca rozumiem parę rzeczy:
a) dlaczego tam są minusy przed trzecią i czwartą całką?
b) czym jest właściwie ta ostatnia całka i skąd się bierze 3x-6? I dlaczego tam jest całka od 2 do 3?
Z góry dziękuję za odpowiedz, już długą się z tym męczę i nie mogę tego rozgryźć...
Wyliczyłam równania płaszczyzn, kilka razy sprawdzałam, więc nie powinno być błędu:
ABS -> z=y
ACS -> z=x
BCS -> \(z= \frac{3}{7} x + \frac{6}{7}y - \frac{6}{7}\)
Całkę iterowaną liczyłam wpierw sama, potem sprawdziłam z programem mathematica i choć powinno wyjść 1, uparcie wychodzi \(\frac{3}{4}\)
Już nie wiem co robić, tym bardziej że nie do końca rozumiem parę rzeczy:
a) dlaczego tam są minusy przed trzecią i czwartą całką?
b) czym jest właściwie ta ostatnia całka i skąd się bierze 3x-6? I dlaczego tam jest całka od 2 do 3?
Z góry dziękuję za odpowiedz, już długą się z tym męczę i nie mogę tego rozgryźć...
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re:
Objętość po której liczysz to ostrosłup o podstawie trójkątnej, a nie piramida.
Radagast która to sugerowała, nie zauważyła że funkcją podcałkową nie jest 1, ale z-et.
y=3x-6 to prosta na XOY przechodząca przez punkty B i S' , gdzie S' to rzut punktu S na XOY (czyli punkt D).
Płaszczyzny dobrze policzyłaś.Ariana pisze:Wyliczyłam równania płaszczyzn, kilka razy sprawdzałam, więc nie powinno być błędu:
ABS -> z=y
ACS -> z=x
BCS -> \(z= \frac{3}{7} x + \frac{6}{7}y - \frac{6}{7}\)
Dlaczego zakładasz że wynikiem jest 1?Ariana pisze:Całkę iterowaną liczyłam wpierw sama, potem sprawdziłam z programem mathematica i choć powinno wyjść 1, uparcie wychodzi \(\frac{3}{4}\)
Radagast która to sugerowała, nie zauważyła że funkcją podcałkową nie jest 1, ale z-et.
Bo uznałem że szybciej będzie wpierw policzyć całkę po ostrosłupie o podstawie czworokąta ABCD (gdzie D=(3,3,0)) i wierzchołku S (jest to suma całek po ostrosłupach o podstawach ACD i ABD i wierzchołku S) a od wyniku odjąć całkę po ostrosłupie o podstawie trójkąta BCD i wierzchołku S (jest to suma całek po ostrosłupach o podstawach BCD' i BDD' i wierzchołku S, gdzie D'=(2,2,0) )Ariana pisze:a) dlaczego tam są minusy przed trzecią i czwartą całką?
b) czym jest właściwie ta ostatnia całka i skąd się bierze 3x-6? I dlaczego tam jest całka od 2 do 3?
y=3x-6 to prosta na XOY przechodząca przez punkty B i S' , gdzie S' to rzut punktu S na XOY (czyli punkt D).