Jak uzasadnić, że podany iloczyn jest zbieżny, a wartosć jego to 1?
\(\prod^ \infty_{n=1} \left( 1-\frac{(-1)^n}{n} \right)\)
iloczyn 4
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: iloczyn 4
wypisać:agusiaczarna22 pisze:Jak uzasadnić, że podany iloczyn jest zbieżny, a wartosć jego to 1?
\(\prod^ \infty_{n=1} \left( 1-\frac{(-1)^n}{n} \right)\)
\(\prod^ \infty_{n=1} \left( 1-\frac{(-1)^n}{n} \right)= \left(1+ \frac{1}{1} \right) \left( 1- \frac{1}{2} \right) \left(1+ \frac{1}{3} \right) \left( 1- \frac{1}{4} \right) \left(1+ \frac{1}{5} \right) \left( 1- \frac{1}{6} \right) ...=2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot ...=1\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 271
- Rejestracja: 05 lis 2013, 15:46
- Podziękowania: 216 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: iloczyn 4
Ponieważ \((1- \frac{-1}{2k+1})(1- \frac{1}{2k+2})=1\) dla dowolnego naturalnego k to:
\(\prod^ n_{i=1} \left( 1-\frac{(-1)^i}{i} \right)=\begin{cases} 1 &\text{dla parzystych n } \\ 1+ \frac{1}{n} &\text{dla nieparzystych n} \end{cases}\)
co mona zapisać Twoim wzorkiem gdyż:
\(1+ \frac{1-(-1)^n}{2n} =\begin{cases} 1 &\text{dla parzystych n } \\ 1+ \frac{1}{n} &\text{dla nieparzystych n} \end{cases}\)
\(\prod^ n_{i=1} \left( 1-\frac{(-1)^i}{i} \right)=\begin{cases} 1 &\text{dla parzystych n } \\ 1+ \frac{1}{n} &\text{dla nieparzystych n} \end{cases}\)
co mona zapisać Twoim wzorkiem gdyż:
\(1+ \frac{1-(-1)^n}{2n} =\begin{cases} 1 &\text{dla parzystych n } \\ 1+ \frac{1}{n} &\text{dla nieparzystych n} \end{cases}\)