iloczyn 4

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
agusiaczarna22
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 271
Rejestracja: 05 lis 2013, 15:46
Podziękowania: 216 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

iloczyn 4

Post autor: agusiaczarna22 »

Jak uzasadnić, że podany iloczyn jest zbieżny, a wartosć jego to 1?
\(\prod^ \infty_{n=1} \left( 1-\frac{(-1)^n}{n} \right)\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: iloczyn 4

Post autor: radagast »

agusiaczarna22 pisze:Jak uzasadnić, że podany iloczyn jest zbieżny, a wartosć jego to 1?
\(\prod^ \infty_{n=1} \left( 1-\frac{(-1)^n}{n} \right)\)
wypisać:
\(\prod^ \infty_{n=1} \left( 1-\frac{(-1)^n}{n} \right)= \left(1+ \frac{1}{1} \right) \left( 1- \frac{1}{2} \right) \left(1+ \frac{1}{3} \right) \left( 1- \frac{1}{4} \right) \left(1+ \frac{1}{5} \right) \left( 1- \frac{1}{6} \right) ...=2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot ...=1\)
agusiaczarna22
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 271
Rejestracja: 05 lis 2013, 15:46
Podziękowania: 216 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: agusiaczarna22 »

a jak uzasadnić, że iloczyn n pierwszych czynników wynosi \(1+ \frac{1-(-1)^n}{2n}\)?
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: iloczyn 4

Post autor: kerajs »

Ponieważ \((1- \frac{-1}{2k+1})(1- \frac{1}{2k+2})=1\) dla dowolnego naturalnego k to:
\(\prod^ n_{i=1} \left( 1-\frac{(-1)^i}{i} \right)=\begin{cases} 1 &\text{dla parzystych n } \\ 1+ \frac{1}{n} &\text{dla nieparzystych n} \end{cases}\)
co mona zapisać Twoim wzorkiem gdyż:
\(1+ \frac{1-(-1)^n}{2n} =\begin{cases} 1 &\text{dla parzystych n } \\ 1+ \frac{1}{n} &\text{dla nieparzystych n} \end{cases}\)
ODPOWIEDZ