Strona 1 z 1

iloczyny 3

: 05 lip 2018, 17:55
autor: agusiaczarna22
Jak pokazać, ze podany iloczyn jest zbieżny:\(\prod^ \infty_{n=1} \sqrt[n]{n}\)?

Re: iloczyny 3

: 05 lip 2018, 19:27
autor: kerajs
Robiłbym tak:
\(\prod^ \infty_{n=1} \sqrt[n]{n}=e^{\ln \prod^ \infty_{n=1} \sqrt[n]{n}}=e^{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\ln n }{n} }=...\)
Szereg w wykładniku jest rozbieżny (porównując go z rozbieżnym szeregiem harmonicznym \(\sum_{}^{} \frac{1}{n}\)) więc:
\(...=e^ \infty = \infty\)
Wychodzi mi Iloczyn rozbieżny.

: 05 lip 2018, 20:03
autor: agusiaczarna22
czyli nie jest zbieżny? bo ja zaczęłam od tego że szereg taki jest zbieżny, gdzie granica dąży do nieskończoności i wynosi 1. Ale jak pokazać to, że tak jest?

Re:

: 06 lip 2018, 06:41
autor: kerajs
Ja mogę się mylić, ale skoro w https://www.matematyka.pl/433746.htm trzy osoby także wykazują rozbieżność tego iloczynu to może jednak, wbrew Twoim oczekiwaniom, nie jest on zbieżny?
agusiaczarna22 pisze: bo ja zaczęłam od tego że szereg taki jest zbieżny, gdzie granica dąży do nieskończoności i wynosi 1.
Nie bardzo wiem co tu chciałaś napisać, jednak po lekturze https://www.matematyka.pl/433742.htm przypuszczam że zakładasz iż nieskończony iloczyn jest zbieżny gdy jego czynniki dla dużych n dążą do 1. Jednak nie jest to warunek zbieżności, ale jedynie warunek konieczny mówiący o tym że tylko iloczyny o takiej własności mają szansę być iloczynami zbieżnymi (choć mogą się także okazać rozbieżnymi) .

: 06 lip 2018, 18:03
autor: agusiaczarna22
Faktycznie masz rację :)