iloczyny 3

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
agusiaczarna22
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 271
Rejestracja: 05 lis 2013, 16:46
Podziękowania: 216 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

iloczyny 3

Post autor: agusiaczarna22 » 05 lip 2018, 17:55

Jak pokazać, ze podany iloczyn jest zbieżny:\(\prod^ \infty_{n=1} \sqrt[n]{n}\)?

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1324
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 564 razy
Płeć:

Re: iloczyny 3

Post autor: kerajs » 05 lip 2018, 19:27

Robiłbym tak:
\(\prod^ \infty_{n=1} \sqrt[n]{n}=e^{\ln \prod^ \infty_{n=1} \sqrt[n]{n}}=e^{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\ln n }{n} }=...\)
Szereg w wykładniku jest rozbieżny (porównując go z rozbieżnym szeregiem harmonicznym \(\sum_{}^{} \frac{1}{n}\)) więc:
\(...=e^ \infty = \infty\)
Wychodzi mi Iloczyn rozbieżny.

agusiaczarna22
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 271
Rejestracja: 05 lis 2013, 16:46
Podziękowania: 216 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: agusiaczarna22 » 05 lip 2018, 20:03

czyli nie jest zbieżny? bo ja zaczęłam od tego że szereg taki jest zbieżny, gdzie granica dąży do nieskończoności i wynosi 1. Ale jak pokazać to, że tak jest?

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1324
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 564 razy
Płeć:

Re:

Post autor: kerajs » 06 lip 2018, 06:41

Ja mogę się mylić, ale skoro w https://www.matematyka.pl/433746.htm trzy osoby także wykazują rozbieżność tego iloczynu to może jednak, wbrew Twoim oczekiwaniom, nie jest on zbieżny?
agusiaczarna22 pisze: bo ja zaczęłam od tego że szereg taki jest zbieżny, gdzie granica dąży do nieskończoności i wynosi 1.
Nie bardzo wiem co tu chciałaś napisać, jednak po lekturze https://www.matematyka.pl/433742.htm przypuszczam że zakładasz iż nieskończony iloczyn jest zbieżny gdy jego czynniki dla dużych n dążą do 1. Jednak nie jest to warunek zbieżności, ale jedynie warunek konieczny mówiący o tym że tylko iloczyny o takiej własności mają szansę być iloczynami zbieżnymi (choć mogą się także okazać rozbieżnymi) .

agusiaczarna22
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 271
Rejestracja: 05 lis 2013, 16:46
Podziękowania: 216 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: agusiaczarna22 » 06 lip 2018, 18:03

Faktycznie masz rację :)