iloczyny 3
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 271
- Rejestracja: 05 lis 2013, 15:46
- Podziękowania: 216 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: iloczyny 3
Robiłbym tak:
\(\prod^ \infty_{n=1} \sqrt[n]{n}=e^{\ln \prod^ \infty_{n=1} \sqrt[n]{n}}=e^{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\ln n }{n} }=...\)
Szereg w wykładniku jest rozbieżny (porównując go z rozbieżnym szeregiem harmonicznym \(\sum_{}^{} \frac{1}{n}\)) więc:
\(...=e^ \infty = \infty\)
Wychodzi mi Iloczyn rozbieżny.
\(\prod^ \infty_{n=1} \sqrt[n]{n}=e^{\ln \prod^ \infty_{n=1} \sqrt[n]{n}}=e^{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\ln n }{n} }=...\)
Szereg w wykładniku jest rozbieżny (porównując go z rozbieżnym szeregiem harmonicznym \(\sum_{}^{} \frac{1}{n}\)) więc:
\(...=e^ \infty = \infty\)
Wychodzi mi Iloczyn rozbieżny.
-
- Stały bywalec
- Posty: 271
- Rejestracja: 05 lis 2013, 15:46
- Podziękowania: 216 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re:
Ja mogę się mylić, ale skoro w https://www.matematyka.pl/433746.htm trzy osoby także wykazują rozbieżność tego iloczynu to może jednak, wbrew Twoim oczekiwaniom, nie jest on zbieżny?
Nie bardzo wiem co tu chciałaś napisać, jednak po lekturze https://www.matematyka.pl/433742.htm przypuszczam że zakładasz iż nieskończony iloczyn jest zbieżny gdy jego czynniki dla dużych n dążą do 1. Jednak nie jest to warunek zbieżności, ale jedynie warunek konieczny mówiący o tym że tylko iloczyny o takiej własności mają szansę być iloczynami zbieżnymi (choć mogą się także okazać rozbieżnymi) .agusiaczarna22 pisze: bo ja zaczęłam od tego że szereg taki jest zbieżny, gdzie granica dąży do nieskończoności i wynosi 1.
-
- Stały bywalec
- Posty: 271
- Rejestracja: 05 lis 2013, 15:46
- Podziękowania: 216 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć: