długość krzywej

[kate84]

Obliczyć długość krzywej:
\(L= \left\{(x, \frac{e^x+e^{-x}}{2} ): 0 \le x \le 1 \right\}\)

[kerajs]

\(L= \int_{0}^{1} \sqrt{1+ \left( \frac{e^x-e^{-x}}{2} \right)^2 } dx= \int_{0}^{1} \frac{e^x+e^{-x}}{2} dx=\frac{e-e^{-1}}{2}\)

[kate84]

I to już? Tak szybko??

[radagast]

Właśnie tak .
Szczęście polega na tym że \(e^x \cdot e^{-x}=1\)
w związku z tym:
\(1+ \left( \frac{e^x-e^{-x}}{2} \right) ^2= \frac{4+e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}= \left( \frac{e^x+e^{-x}}{2} \right) ^2\)