Udowodnij, że iloczyn jest zbieżny
a) \(\prod^ \infty_{n=0} (1+(\frac{1}{2})^{2^n}) = 2\)
b)\(\prod^ \infty_{n=2} (1+\frac{2n+1}{(n^2+1)(n+1)^2} )=\frac{4}{3}\)
iloczyn 2
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: iloczyn 2
a)
\(\prod^ \infty_{n=0} (1+\frac{1}{2^{2^n}} )= \frac{1- \frac{1}{2} }{1- \frac{1}{2} } \cdot \prod^ \infty_{n=0} (1+\frac{1}{2^{2^n}} )=\\= \frac{1 }{1- \frac{1}{2} } (1- \frac{1}{2})(1+ \frac{1}{2})(1+ \frac{1}{2^2})(1+ \frac{1}{2^4})(1+ \frac{1}{2^8})(1+ \frac{1}{2^{16}}) \cdot ...=\\=
\frac{1 }{1- \frac{1}{2} } (1- \frac{1}{2^2})(1+ \frac{1}{2^2})(1+ \frac{1}{2^4})(1+ \frac{1}{2^8})(1+ \frac{1}{2^{16}}) \cdot ...=\\=\frac{1 }{1- \frac{1}{2} } (1- \frac{1}{2^4})(1+ \frac{1}{2^4})(1+ \frac{1}{2^8})(1+ \frac{1}{2^{16}}) \cdot ...=\\=\frac{1 }{1- \frac{1}{2} } (1- \frac{1}{2^8})(1+ \frac{1}{2^8})(1+ \frac{1}{2^{16}}) \cdot ...=\\=\frac{1 }{1- \frac{1}{2} } (1- \frac{1}{2^{16}})(1+ \frac{1}{2^{16}}) \cdot ...=...=\frac{1 }{1- \frac{1}{2} } (1- \frac{1}{2^{2^ \infty }})=\frac{1 }{1- \frac{1}{2} } \cdot 1=2\)
\(\prod^ \infty_{n=0} (1+\frac{1}{2^{2^n}} )= \frac{1- \frac{1}{2} }{1- \frac{1}{2} } \cdot \prod^ \infty_{n=0} (1+\frac{1}{2^{2^n}} )=\\= \frac{1 }{1- \frac{1}{2} } (1- \frac{1}{2})(1+ \frac{1}{2})(1+ \frac{1}{2^2})(1+ \frac{1}{2^4})(1+ \frac{1}{2^8})(1+ \frac{1}{2^{16}}) \cdot ...=\\=
\frac{1 }{1- \frac{1}{2} } (1- \frac{1}{2^2})(1+ \frac{1}{2^2})(1+ \frac{1}{2^4})(1+ \frac{1}{2^8})(1+ \frac{1}{2^{16}}) \cdot ...=\\=\frac{1 }{1- \frac{1}{2} } (1- \frac{1}{2^4})(1+ \frac{1}{2^4})(1+ \frac{1}{2^8})(1+ \frac{1}{2^{16}}) \cdot ...=\\=\frac{1 }{1- \frac{1}{2} } (1- \frac{1}{2^8})(1+ \frac{1}{2^8})(1+ \frac{1}{2^{16}}) \cdot ...=\\=\frac{1 }{1- \frac{1}{2} } (1- \frac{1}{2^{16}})(1+ \frac{1}{2^{16}}) \cdot ...=...=\frac{1 }{1- \frac{1}{2} } (1- \frac{1}{2^{2^ \infty }})=\frac{1 }{1- \frac{1}{2} } \cdot 1=2\)
-
agusiaczarna22
- Stały bywalec
- Posty: 271
- Rejestracja: 05 lis 2013, 15:46
- Podziękowania: 216 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: iloczyn 2
Sądzę, że przykład jest źle przepisany i miało być:
\(\prod^ \infty_{n=2} (1+\frac{2n+1}{(n^2-1)(n+1)^2} )\)
Wtedy:
\(\prod^ \infty_{n=2} (1+\frac{2n+1}{(n^2-1)(n+1)^2} )=\prod^ \infty_{n=2}\frac{ \left[(n+1)^2-1 \right] \left[ (n^2-1)+1\right] }{(n^2-1)(n+1)^2} =\prod^ \infty_{n=2}\frac{ \left[(n+1)^2-1 \right] \left[ n^2\right] }{(n^2-1)(n+1)^2} =\\
\\= \left(\prod^ \infty_{n=2}\frac{ (n+1)^2-1 }{n^2-1} \right) \left( \prod^ \infty_{n=2}\frac{ n^2 }{(n+1)^2}\right)= \left( \frac{1}{2^2-1} \right) \left( \frac{2^2}{1} \right)= \frac{4}{3}\)
\(\prod^ \infty_{n=2} (1+\frac{2n+1}{(n^2-1)(n+1)^2} )\)
Wtedy:
\(\prod^ \infty_{n=2} (1+\frac{2n+1}{(n^2-1)(n+1)^2} )=\prod^ \infty_{n=2}\frac{ \left[(n+1)^2-1 \right] \left[ (n^2-1)+1\right] }{(n^2-1)(n+1)^2} =\prod^ \infty_{n=2}\frac{ \left[(n+1)^2-1 \right] \left[ n^2\right] }{(n^2-1)(n+1)^2} =\\
\\= \left(\prod^ \infty_{n=2}\frac{ (n+1)^2-1 }{n^2-1} \right) \left( \prod^ \infty_{n=2}\frac{ n^2 }{(n+1)^2}\right)= \left( \frac{1}{2^2-1} \right) \left( \frac{2^2}{1} \right)= \frac{4}{3}\)