Udowodnij, że iloczyn jest zbieżny
\(\prod^ \infty_{n=2} \frac{n^3-1}{n^3+1} = \frac{2}{3}\)
iloczyn
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: iloczyn
\(\prod^ \infty_{n=2} \frac{n^3-1}{n^3+1} = \prod^ \infty_{n=2} \frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)} = \left( \prod^ \infty_{n=2} \frac{n-1}{n+1} \right) \left( \prod^ \infty_{n=2} \frac{n(n+1)+1}{(n-1)n+1} \right)=\\
\\
= \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{6} \cdot ....\right) \left( \frac{2 \cdot 3+1}{1 \cdot 2+1} \cdot \frac{3 \cdot 4+1}{2 \cdot 3+1} \cdot \frac{4 \cdot 5+1}{3 \cdot 4+1} \cdot \frac{5 \cdot 6+1}{4 \cdot 5+1} \cdot ....\right)=(1 \cdot 2)( \frac{1}{1 \cdot 2+1} ) = \frac{2}{3}\)
\\
= \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{6} \cdot ....\right) \left( \frac{2 \cdot 3+1}{1 \cdot 2+1} \cdot \frac{3 \cdot 4+1}{2 \cdot 3+1} \cdot \frac{4 \cdot 5+1}{3 \cdot 4+1} \cdot \frac{5 \cdot 6+1}{4 \cdot 5+1} \cdot ....\right)=(1 \cdot 2)( \frac{1}{1 \cdot 2+1} ) = \frac{2}{3}\)