całka z pierwiastkiem

[malwinka1058]

jak policzyć taką całkę?

\(\int \frac{ \sqrt{ax-x^{2}} }{a-x} dx\)

[kerajs]

\(\int \frac{ \sqrt{ax-x^{2}} }{a-x} dx=\int \sqrt{\frac{ x }{a-x}} dx= \left[ t= \sqrt{\frac{ x }{a-x}} \So x=a- \frac{a}{1+t^2} \So dx= \frac{2at}{(1+t^2)^2} dt\right] =\\=\int t \frac{2at}{(1+t^2)^2} dt=a \left( t \cdot \frac{-1}{1+t^2} - \int 1 \cdot \frac{-1}{1+t^2} dt\right) =\frac{-at}{1+t^2}+a\arctg t+C=
\frac{-a \sqrt{\frac{ x }{a-x}}}{1+(\frac{ x }{a-x})^2}+a\arctg \sqrt{\frac{ x }{a-x}}+C\)