Rozwiąż równanie liniowe.

[marex692]

Rozwiąż równanie liniowe.

\(y'-y *tg x= 6 sin x.\)

[radagast]

Rozwiąż równanie liniowe.

\(y'-y *tg x= 6 sin x.\)

najpierw jednorodne:
\(y'-y \tg x= 0\)
\(\frac{dy}{dx} =y \tg x\)
\(\int \frac{dy}{y} = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx\)
\(\ln |y|=-\ln|\cos x|+C\)
\(y= \frac{D}{\cos x}\)
teraz uzmiennijmy stałą \(D\)
\(y= \frac{D(x)}{\cos x}\)
\(y'= \frac{D'\cos x+D\sin x}{\cos^2x}\)
i wstawmy do równania wyjściowego
\(\frac{D'\cos x+D\sin x}{\cos^2x}- \frac{D(x)}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 6 \sin x.\)
\(\frac{D'}{\cos x} = 6 \sin x.\)
\(D'=6\sin x\cos x\)
\(D'=3\sin 2x\)
\(D=- \frac{3}{2} \cos 2x +E\)
no to mamy rozwiązanie:
\(y= \frac{- \frac{3}{2} \cos 2x +E}{\cos x}\),
a po uproszczeniu:
\(y= \frac{- 3 \cos 2x +F}{2\cos x}\)