granica
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
\(=[1^0]= \Lim_{x\to \infty } e^{x\ln (3^{ \frac{1}{x} }+\frac{1}{x})}=\Lim_{x\to \infty } e^{\frac{\ln (3^{ \frac{1}{x} }+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} }=(l'Hopital)\Lim_{x\to \infty }e^{ \frac{ \frac{3^{ \frac{1}{x} }(\ln 3 )(\frac{-1}{x^2})+\frac{-1}{x^2}}{3^{ \frac{1}{x} }+\frac{1}{x}}}{\frac{-1}{x^2}} }=\\
=\Lim_{x\to \infty }e^{ \frac{3^{ \frac{1}{x} }\ln 3 +1}{3^{ \frac{1}{x} }+\frac{1}{x}}}=e^{\ln 3 +1}=3e\)
=\Lim_{x\to \infty }e^{ \frac{3^{ \frac{1}{x} }\ln 3 +1}{3^{ \frac{1}{x} }+\frac{1}{x}}}=e^{\ln 3 +1}=3e\)
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Troszeczkę łatwiej liczyć jak się podstawi na początku \(t= \frac{1}{x}\):
Wtedy wygląda to tak:
\(\displaystyle \Lim _{x\to \infty }\left(3^{\frac{1}{x}}+\frac{1}{x}\right)^{^x}=\Lim _{t\to 0}\left(3^{t}+t\right)^{ \frac{1}{t} }=\Lim _{t\to 0}e^{ \frac{ln\left(3^{t}+t\right)}{x} }=^H=\Lim _{t\to 0}e^{ \frac{3^t \ln 3+1}{\left(3^{t}+t\right)} }=e^{\ln 3+1}=3e\)
Wtedy wygląda to tak:
\(\displaystyle \Lim _{x\to \infty }\left(3^{\frac{1}{x}}+\frac{1}{x}\right)^{^x}=\Lim _{t\to 0}\left(3^{t}+t\right)^{ \frac{1}{t} }=\Lim _{t\to 0}e^{ \frac{ln\left(3^{t}+t\right)}{x} }=^H=\Lim _{t\to 0}e^{ \frac{3^t \ln 3+1}{\left(3^{t}+t\right)} }=e^{\ln 3+1}=3e\)