Całka podwójna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
justkisiel
- Dopiero zaczynam
- Posty: 26
- Rejestracja: 19 lis 2017, 14:07
- Podziękowania: 7 razy
- Płeć:
Całka podwójna
Obliczyć \(\int_{D}^{} \int_{}^{} \frac{dxdy}{ \sqrt{4x^2+y^2 }}\) ,jeżeli \(D= \left\{ (x,y) \in \rr : x^2+y^2/4 \le 1, y \ge |x|\right\}\)
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Przyjmę współrzędne :
\(\begin{cases} x=r\cos \alpha \\ y=2r\sin \alpha \\ J= 2r \end{cases}\)
Wtedy D to:
\(\begin{cases} 0 \le r \le 1 \\
\frac{ \pi }{4} \le \alpha \le \frac{3 \pi }{4}
\end{cases}\)
a całka ma postać:
\(...= \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{ 3\pi }{4} } \left( \int_{0}^{1} \frac{1}{ \sqrt{4r^2} } \cdot 2rdr\right) d \alpha = \left( \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{ 3\pi }{4} }d \alpha \right) \left( \int_{0}^{1} dr\right)=( \frac{ 3\pi }{4}- \frac{ \pi }{4})(1-0)= \frac{ \pi }{2}\)
\(\begin{cases} x=r\cos \alpha \\ y=2r\sin \alpha \\ J= 2r \end{cases}\)
Wtedy D to:
\(\begin{cases} 0 \le r \le 1 \\
\frac{ \pi }{4} \le \alpha \le \frac{3 \pi }{4}
\end{cases}\)
a całka ma postać:
\(...= \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{ 3\pi }{4} } \left( \int_{0}^{1} \frac{1}{ \sqrt{4r^2} } \cdot 2rdr\right) d \alpha = \left( \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{ 3\pi }{4} }d \alpha \right) \left( \int_{0}^{1} dr\right)=( \frac{ 3\pi }{4}- \frac{ \pi }{4})(1-0)= \frac{ \pi }{2}\)