granica iterowana

[kate84]

Pokazac, że istnieje \(\Lim_{(x,y)\to (2,1) }(x-2y)sin \frac{1}{x-2}sin \frac{1}{y-1}\), natomiast nie istnieją granice iterowane.

[kate84]

Proszę o pomoc

[kate84]

Proszę o pomoc

[radagast]

Pokazac, że istnieje \(\Lim_{(x,y)\to (2,1) }(x-2y)sin \frac{1}{x-2}sin \frac{1}{y-1}\), natomiast nie istnieją granice iterowane.

Istnienie tej granicy jest oczywiste, bo to jest granica typu \(0 \cdot "ograniczona"\), więc z twierdzenia o trzech ciągach łatwo pokażesz co trzeba. Natomiast jeśli chodzi o iterowane , to nie pomogę , bo nie pamiętam jak się to liczy.

[radagast]

A już wiem ! Doczytałam tu: http://math.uni.lodz.pl/~karpinw/zadani ... z5_AM3.PDF
czyli należy pokazać ,że nie istnieje granica \(\Lim_{x\to 2 } (x-2y)\sin \frac{1}{x-2}\sin \frac{1}{y-1}\)


\(\Lim_{x\to 2 } (x-2y)\sin \frac{1}{x-2}\sin \frac{1}{y-1}=2(1-y)\sin \frac{1}{y-1}\Lim_{x\to 2 }\sin \frac{1}{x-2}=\)
A to jest jakaś stała różna od 0,
(mam na myśli czynnik \(2(1-y)\sin \frac{1}{y-1})\),
razy nie istniejąca granica ,
( mam na myśli \(\Lim_{x\to 2} \sin \frac{1}{x-2}\) )

No to rzeczywiście, nie istnieje.

Analogicznie ta druga iterowana.

[kate84]

Jak udowodnić to z trzech ciągów? Kurcze nie wiem

[kate84]

\(\Lim_{x\to 2 } (x-2y)\sin \frac{1}{x-2}\sin \frac{1}{y-1}\)


\(\Lim_{x\to 2 } (x-2y)\sin \frac{1}{x-2}\sin \frac{1}{y-1}=2(1-y)\sin \frac{1}{y-1}\Lim_{x\to 2 }\sin \frac{1}{x-2}=\)
A gdzie się podział x?

[radagast]

A jak policzysz granicę \(\Lim_{x\to 5} x\) ?

[kate84]

Tak myslalam:) a jak z tym twoim o trzech ciagach??

[radagast]

\(-(x-2y)\le (x-2y)\sin \frac{1}{x-2}\sin \frac{1}{y-1} \le (x-2y)\)
tymczasem \(\Lim_{(x,y) \to (2,1) } -(x-2y)=0=\Lim_{(x,y) \to (2,1) } (x-2y)\)
no to na podstawie twierdzenia o trzech ciągach ( a właściwie funkcjach) mamy co trzeba .

[kate84]

Dziękuję Ci bardzo!!