granica

[kate84]

Zbadac istnienie granicy oraz granic iterowanych:

\(f(x,y)= \frac{(x-2)y^3}{(x-2)^2+2y^6}\) w punkcie \((2,0)\)

[radagast]

Zbadac istnienie granicy oraz granic iterowanych:

\(f(x,y)= \frac{(x-2)y^3}{(x-2)^2+2y^6}\) w punkcie \((2,0)\)

nie istnieje:
niech \(x_n=2+ \frac{1}{n} \\y_n=\frac{1}{n}\)
wtedy
\(x_n \to 2\\y_n \to 0\)
i \(\frac{(x_n-2)y_n^3}{(x_n-2)^2+2y_n^6}= \frac{ \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^3} }{\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^6}}= \frac{ \frac{1}{n^4} }{\frac{n^4+2}{n^6}}= \frac{ 1 }{\frac{n^4+2}{n^2}}= \frac{n^2}{n^4+2}\to 0\)

niech teraz \(x_n=2+ \frac{1}{n^3} \\y_n=\frac{1}{n}\)
wtedy
\(x_n \to 2\\y_n \to 0\)
ale \(\frac{(x_n-2)y_n^3}{(x_n-2)^2+2y_n^6}= \frac{ \frac{1}{n^3} \cdot \frac{1}{n^3} }{\frac{1}{n^6}+\frac{2}{n^6}}= \frac{ 1 }{1+2}= \frac{1}{3} \neq 0\)

[kate84]

A granice iterowane obie wyjdą zero?

[kate84]

Proszę o pomoc

[kate84]

Proszę o pomoc

[radagast]

A granice iterowane obie wyjdą zero?

Tak, bo:
\(\Lim_{x\to 2 } \frac{(x-2)y^3}{(x-2)^2+2y^6}= \frac{0 \cdot y^3}{0+2y^6}=0\)

\(\Lim_{y\to 0 } \frac{(x-2)y^3}{(x-2)^2+2y^6}=\frac{(x-2) \cdot 0}{(x-2)^2+0}=0\)