Największy trójkąt

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Enhansa
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 09 maja 2018, 23:21
Płeć:

Największy trójkąt

Post autor: Enhansa »

Witam,
Mam problem gdyż utknąłem w rozwiązywaniu zadania.
Zadanie polega na wyznaczeniu trójkąta ekstremalnego, wykorzystując wzór na obwód

\(2p = a + b + c\)

i wzór Herona na pole

\(p(p−a)(p−b)(p−c)\)

Oczywistym jest iż taki trójkąt to trójkąt równoboczny.

Dowód przeprowadzałem w ten sposób:
1. Zrobiłem funkcje dwóch zmiennych \(f(a,b) = p(p−a)(p−b)(a+b−p)\)
2. Policzyłem pochodne, hesjan, wyznaczyłem maksimum lokalne w punkcie \(( \frac{2p}{3} , \frac{2p}{3} )\), czyli
wnioskuję iż a = b

I tutaj się zaciąłem. Jak dalej przeprowadzić ten dowód? Zgaduję iż muszę jakoś udowodnić iż te
wartości są nie tylko największe lokalnie ale i na całym zbiorze, ale jak?
Wykładowca podpowiedział mi by wykorzystać nierówność z własności trójkąta np. a+b>c, ale nic
mi to nie mówi szczerze jak to pociągnąć.

Prosiłbym o jakąś konkretną wskazówkę.
Z góry dziękuje.
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Największy trójkąt

Post autor: kerajs »

Enhansa pisze: Dowód przeprowadzałem w ten sposób:
1. Zrobiłem funkcje dwóch zmiennych \(f(a,b) = p(p−a)(p−b)(a+b−p)\)
z założeniami \(\begin{cases} 0<a<p \\ 0<b<p\end{cases}\)
Enhansa pisze: 2. Policzyłem pochodne, hesjan, wyznaczyłem maksimum lokalne w punkcie \(( \frac{2p}{3} , \frac{2p}{3} )\), czyli
wnioskuję iż a = b
\(a=b=c= \frac{2p}{3}\)
bo
\(c=2p-a-b\)
Enhansa pisze: Jak dalej przeprowadzić ten dowód? Zgaduję iż muszę jakoś udowodnić iż te
wartości są nie tylko największe lokalnie ale i na całym zbiorze, ale jak?
Nic więcej nie musisz udowadniać. Dla obszaru określoności optymalizowanej funkcji (założenia powyżej) istnieje tylko jedno jedyne maksimum, i zachodzi ono dla trójkąta równobocznego. C.N.D.
ODPOWIEDZ