pkt przegięcia

[enta]

znaleźć przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia:
\(f(x)=e^ \left( arctg(2x)\right)\)

[kerajs]

znaleźć przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia:
\(f(x)=e^ \left( arctg(2x)\right)\)

\(f'(x)=e^ \left( arctg(2x)\right) \frac{2}{1+(2x)^2}\)
\(f''(x)=e^ \left( arctg(2x)\right) (\frac{2}{1+(2x)^2})^2+e^ \left( arctg(2x)\right) \frac{-16x}{(1+(2x)^2)^2} =e^ \left( arctg(2x)\right) \frac{4-16x}{(1+(2x)^2)^2}\)
\(f''>0 \iff x<4\\
f''<0 \iff x>4\\
f''=0 \iff x=4\)
Ponieważ wklęsłość i wypukłość jest różnie definiowana to sama dopisz odpowiednie nazwy, zgodnie z konwencją Twojego wykładowcy.

[enta]

A skąd wiemy,że punkt przegiecia to 4 jak to wyliczyć?

[kerajs]

Dobrze że pytasz, bo widzę że źle go wyliczyłem.
WK PP:
\(f''(x)=0\\
e^ \left( arctg(2x)\right) \frac{4-16x}{(1+(2x)^2)^2}=0\\
4-16x=0\\
x= \frac{1}{4}\)
stąd
\(f''>0 \iff x< \frac{1}{4}\\
f''<0 \iff x> \frac{1}{4}\\
f''=0 \iff x= \frac{1}{4}\)
Znak drugiej pochodnej zależy wyłącznie od czynnika 4-16x