Wyznaczyc funkcję graniczną dla ciągu \(\left\{ f_n\right\}\) zadanego na \(R\) wzorem \(f_n(x)=nxsin \frac{x}{n}\).
Zbadać charakter tej zbieżności na zbiorach \(R\),\(R_+\) oraz na przedziałach postaci \(\left[ 0,a\right]\), \(a>0\).
Ta funkcja graniczna to jest \(f(x)=x^2\), bo \(\Lim_{n\to \infty } f_n(x)=\Lim_{n\to \infty } n x \sin \frac{x}{n}=\\
x\Lim_{n\to \infty } \frac{ \sin \frac{x}{n}}{ \frac{1}{n} }= x^2\Lim_{n\to \infty }\frac{ \sin \frac{x}{n}}{ \frac{x}{n} }=x^2\)
dla wszystkich \(x \in R\)
