3 granice funkcji dwóch zmiennych

[poetaopole]

Jak to w ogóle się liczy? Generalnie w funkcji jednej zmiennej policzę większość granic, ale tu nie znam zasad formalnych:
\(\lim_{ (x,y)\to(1,-1) } \frac{ x^{2} - y^{2} }{x+y}\)
\(\lim_{(x,y,z) \to(1,0,2) }\ln \frac{ x^{2}+ y^{2}}{x+y+z}\)
\(\lim_{(x,y) \to(0,3) } \frac{y\sin x^{2} }{ x^{2} }\).
A jak wykazać, że następująca granica \(\lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{x}{x+y}\) nie istnieje?

[kerajs]

\(\lim_{ (x,y)\to(1,-1) } \frac{ x^{2} - y^{2} }{x+y}=\lim_{ (x,y)\to(1,-1) } (x-y)=2\)
\(\lim_{(x,y,z) \to(1,0,2) }\ln \frac{ x^{2}+ y^{2}}{x+y+z}= \frac{1}{3}\)
\(\lim_{(x,y) \to(0,3) } \frac{y\sin x^{2} }{ x^{2} }=3\lim_{x^2 \to 0 } \frac{\sin x^{2} }{ x^{2} }=3 \cdot 1=3\).
\(\lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{x}{x+y}=...\)
Niech \(x= \frac{1}{n} \wedge y= \frac{a}{n}\) to:
\(...= \Lim_{n\to \infty } \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+\frac{a}{n}}= \frac{1}{1+a}\)
Ponieważ dla różnych wartości a granica przyjmuje różne wartości to ta granica nie istnieje (z definicji granicy Heinego)

[poetaopole]

Wszystko zrozumiałem Dziękuję i Wesołych Świąt Ci Życzę!

[kerajs]

I wzajemnie.