Całka

[lambdag]

\(\int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{1+e^{2x}} }\)
Spróbowałem podstawienia:

\(t = \sqrt{1+e^{2x}}\)
\(dt = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1+e^{2x}} } \cdot e^{2x} \cdot 2 dx\)
\(t^2 = 1 + e^{2x}\)
\(e^{2x} = t^2 - 1\)
\(dx = \frac{t \cdot dt}{t^2 - 1}\)

\(\int_{}^{} \frac{1}{t^2 - 1}dt\)
I teraz tylko rozkład na czynniki pierwsze i gotowe??

[kerajs]

I teraz tylko rozkład na ułamki proste, wyliczenie całki i powrót do zmiennej x.

[lambdag]

OK!
\(\frac{1}{(t+1) \cdot (t-1)} = \frac{A}{(t+1)} + \frac{B}{(t-1)}\)
\(A = - \frac{1}{2}\)
\(B = \frac{1}{2}\)

Czyli:
\(całka.... = - \frac{1}{2} \ln (t+1 ) + \frac{1}{2} \ln (t-1) = - \frac{1}{2} \ln ( \sqrt{1+e^{2x}} +1 ) + \frac{1}{2} \ln ( \sqrt{1+e^{2x}}-1)\)

Dziękuje