POMOCY. Pochodna

[ewela123]

1.Jaka powinna być długość podstawy trapezu ,aby jego pole było jak największe, jeżeli długość każdego z pozostałych boków trapezu jest równa 10 ?

2.Krótsza podstawa trapezu ma długość 1, a każda z jego przekątnych długość 2. Jaka musi być długość dłuższej jego podstawy, aby pole trapezu było jak największe?

3. Suma długości dwóch trójkąta wynosi 4, a miara kąta zawartego pomiędzy tymi bokami 120 stopni.Jakie muszą być długości boków trójkąta, aby jego obwód był najmniejszy ?

4.W czworokątnym ostrosłupie prawidłowym długość krawędzi bocznej wynosi l. Ostrosłup ten przekrojono płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i wysokość ostrosłupa w taki sposób,że pole powstałego przekroju jest największe. Jaka jest objętość ostrosłupa ?

[radagast]

1.Jaka powinna być długość podstawy trapezu ,aby jego pole było jak największe, jeżeli długość każdego z pozostałych boków trapezu jest równa 10 ?

ScreenHunter_235.jpg (4.92 KiB) Przejrzano 1566 razy

1) Wyraź pole jako funkcję zmiennych \(x\) i \(h\)
2) Wyraź \(h\) jako funkcję zmiennej \(x\)
3) podstaw \(h\) otrzymane w punkcje 2) do wzoru z punktu 1)
4) Zbadaj dla jakiego \(x\) pole jest największe.

[radagast]

2.Krótsza podstawa trapezu ma długość 1, a każda z jego przekątnych długość 2. Jaka musi być długość dłuższej jego podstawy, aby pole trapezu było jak największe?

Skoro trapez ma równe przekątne to jest równoramienny, a więc wygląda tak:

ScreenHunter_238.jpg (10.9 KiB) Przejrzano 1551 razy

1) wyraź pole trapezu jako funkcje zmiennych x i h
2) Stosując tw Pitagorasa do trójkąta HBD wyraź h jako funkcję zmiennej x
3) Wstaw h otrzymane w punkcie 2) do wzoru z punktu 1)
4) Znajdź x dla którego pole jest największe

[radagast]

3. Suma długości dwóch trójkąta wynosi 4, a miara kąta zawartego pomiędzy tymi bokami 120 stopni.Jakie muszą być długości boków trójkąta, aby jego obwód był najmniejszy ?

ScreenHunter_240.jpg (6.26 KiB) Przejrzano 1547 razy

Jak zwykle:
1) wyraź obwód jako funkcję zmiennych x i y
2) Posługując się twierdzeniem cosinusów wyraź y jako funkcję zmiennej x.
3) Wstaw y wyznaczone w punkcie 2) do wzoru z punktu 1)
4) znajdź x dla którego obwód jest najmniejszy

[radagast]

4.W czworokątnym ostrosłupie prawidłowym długość krawędzi bocznej wynosi l. Ostrosłup ten przekrojono płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i wysokość ostrosłupa w taki sposób,że pole powstałego przekroju jest największe. Jaka jest objętość ostrosłupa ?

ScreenHunter_243.jpg (10.02 KiB) Przejrzano 1533 razy

1) \(P(a,h)= \frac{ ah\sqrt{2}}{2}\)
2) \(h= \sqrt{l^2- \frac{a^2}{4} }= \frac{ \sqrt{4l^2-a^2} }{2}\)
3) \(P(a)= \frac{ a\frac{ \sqrt{4l^2-a^2} }{2}\sqrt{2}}{2}= \frac{ a \sqrt{8l^2-2a^2} }{4}= \frac{ \sqrt{8a^2l^2-2a^4} }{4}\)
4)\(P'(a)= \frac{16al^2-8a^3}{8 \sqrt{8a^2l^2-2a^4}}= \frac{2l^2-a^2}{ \sqrt{8l^2-2a^2}}\)
Największe pole jest wtedy gdy \(a=l \sqrt{2}\). Wtedy \(h= \frac{ l \sqrt{2}}{2}\) i objętość wynosi...

[Galen]

Wkradł się błąd rachunkowy już w punkcie 2),no i popsuł wynik końcowy.Jeżeli \(a=l\sqrt{2}\), to przekrój byłby trójkątem o podstawie 2l i ramionach l,l,ale taki \(\Delta\) nie istnieje...
1)
\(P(a;h)= \frac{a \sqrt{2} \cdot h }{2}\)
2)
\(h^2+( \frac{a \sqrt{2} }{2})^2=l^2\\h^2+ \frac{2a^2}{4}=l^2\\h^2=l^2- \frac{2a^2}{4}\\l^2= \frac{4l^2-2a^2}{4}\\l= \frac{ \sqrt{4l^2-2a^2} }{2}\)
3)
\(P(a)= \frac{a \sqrt{2} \cdot h }{2}= \frac{a \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{4l^2-2a^2} }{2} }{2}= \frac{a \sqrt{8l^2-4a^2} }{4}= \frac{a\sqrt{2l^2-a^2}}{2}\)
\(P'(a)=( \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2l^2-a^2} )'= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2l^2-a^2}+ \frac{a}{2} \cdot \frac{-2a}{2 \sqrt{2l^2-a^2} }= \frac{ \sqrt{2l^2-a^2} }{2}- \frac{a^2}{2 \sqrt{2l^2-a^2} }=\\= \frac{2l^2-a^2-a^2}{2 \sqrt{2l^2-a^2} }= \frac{2l^2-2a^2}{2 \sqrt{2l^2-a^2} } = \frac{l^2-a^2}{ \sqrt{2l^2-a^2} }\)
\(P'=0\;\;\;\;\;\;gdy\;\;\;\;\;\;\;\;l^2=a^2\;\;\;\;i\;\;\;l>0\;\;\;\;i\;\;a>0\\l=a\)
Przekrój jest trójkątem równoramiennym...

[radagast]

Ale wiesz Galen, ten przekrój, to nie jest trójkąt równoboczny. Popatrz na rysunek . To ściana boczna jest trójkątem równobocznym. \(h= \frac{l \sqrt{2} }{2}\)
Przekrój jest trójkątem prostokątnym, równoramiennym.

[Galen]

Słusznie Radagast.
Dobrze,że jest rysunek...Teraz widzę...
Dzięki.