Pochodna cząstkowa

[Lp13]

\sqrt{xy} (3x+2z)^ \sqrt{yz}
pochodna cząstkowa względem zmiennej x

[eresh]

\(f(x,y,z)=\sqrt{xy}(3x+2z)^{\sqrt{yz}}\\
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y}{2\sqrt{xy}}(3x+2z)^{\sqrt{yz}}+\sqrt{xy}\cdot \sqrt{yz}(3x+2z)^{\sqrt{yz}-1}\cdot 3\)

[Lp13]

dlaczego \frac{y}{2 \sqrt{xy} } a nie \frac{y}{2 \sqrt{x} } ?

[eresh]

a co niby miało stać się z tym y?

[Lp13]

odp. to \((3x+2z)^{ \sqrt{yz} -1 } \frac{ \sqrt{y} }{2 \sqrt{x} } (3x+2z+6x \sqrt{yz})\)
tylko nie wiem jak doprowadzić wynik do takiej formy

[Lp13]

liczę po x , więc jakoś ten y mi nie odpowiada
właściwie to zrobiłabym tak : \frac{} \sqrt{y} {2 \sqrt{x} }
ale już się chyba pogubiłam

[eresh]

liczysz po x, więc y jest stały
\((\sqrt{xy})'_x=\frac{1}{2\sqrt{xy}}\cdot (xy)'_x=\frac{1}{2\sqrt{yx}}\cdot y=\frac{y}{2\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}\)

[Lp13]

dziękuję ! a jak doprowadzić wynik do takiej formy jak w odp ?

[eresh]

\(\frac{y}{2\sqrt{xy}}(3x+2z)^{\sqrt{yz}}+\sqrt{xy}\cdot \sqrt{yz}(3x+2z)^{\sqrt{yz}-1}\cdot 3=\\=
\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}(3x+2z)^{\sqrt{yz}}+3y\sqrt{xz}(3x+2z)^{\sqrt{yz}-1}=\\
=(3x+2z)^{\sqrt{yz}-1}\cdot\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}(3x+2z+3\cdot y\sqrt{xz}\cdot\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{y}})=\\
=(3x+2z)^{\sqrt{yz}-1}\cdot\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}(3x+2z+6x\sqrt{yz})\)

[Lp13]

dziękuję bardzo !!!