Monotoniczność i ekstrema

[radosnykonik]

Potrafię liczyć ze zwykłymi liczbami np 4x^3 + 6x^2 + 1

a tu jakieś przykłady co nie wiem jak się do nich dobrać

ani nie wiadomo jak wyznaczyć dziedzinę - R?

ani jaki wykres

[Galen]

Tylko w zad.d jest \(x\in (0;+\infty)\) w pozostałych dziedzina to R.
a)
\(f(x)=x^2e^x\\f'(x)=2xe^x+x^2 e^x=e^x(2x+x^2)\\f'(x)=0\;\;\;gdy\;\;\;2x+x^2+0\\czyli\\x(2+x)=0\\x=0\;\;\;\;lub\;\;\;x=-2\)
\(e^x>0\;\;\;dla\;\;\;wszystkich\;\;x\in R\)
W punkcie x=-2 jest f'(-2)=0 i pochodna zmienia znak z + na -,zatem funkcja osiąga MAX.
\(f_{MAX}=f(-2)=(-2)^2\cdot e^{-2}=\frac{4}{e^2}\)
W punkcie x=0 jest f'(0)=0 i pochodna zmienia znak z - na +,zatem funkcja osiąga minimum.
\(f_{min}=f(0)=0^2 e^0=0\cdot 1=0\)
\(f'(x)<0\\2x+x^2<0\\x(2+x)<0\\x\in (-2;0)\)
Funkcja jest w tym przedziale malejąca.
W pozostałych przedziałach ,czyli \((- \infty ;-2)\;\;\;oraz\;\;\;(0;+ \infty )\) f' jest dodatnia,więc funkcja f jest rosnąca.