zbieznosc szeregu

[kate84]

Udowodnij zbieżnosc i zbieznosc bezwzględną szeregu \(\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{cos( \pi n^2)}{ln^2 n}\)

[radagast]

Udowodnij zbieżnosc i zbieznosc bezwzględną szeregu \(\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{cos( \pi n^2)}{ln^2 n}\)

\(|\cos( \pi n^2)|=1\)
zatem \(\left| \frac{cos( \pi n^2)}{ln^2 n} \right|= \frac{1}{ln^2 n}\)
tymczasem \(\frac{1}{ln^2 n}> \frac{1}{n}\), co wobec rozbieżności szeregu \(\sum_{}^{} \frac{1}{n}\), świadczy o tym, że badany szereg nie jest zbieżny bezwzględnie.

[radagast]

Ale zbieżny jest:
\(\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{cos( \pi n^2)}{ln^2 n}\)
\(\frac{cos( \pi n^2)}{ln^2 n}= (-1)^n \frac{1}{ln^2 n}\) i na podstawie kryterium Leibniza mamy zbieżność

[kate84]

Skąd się to wzięło?:
\(|\cos( \pi n^2)|=1\)
świadczy o tym, że badany szereg nie jest zbieżny bezwzględnie.
A sama zbieżnosc?

[radagast]

Skąd się to wzięło?:
\(|\cos( \pi n^2)|=1\)
świadczy o tym, że badany szereg nie jest zbieżny bezwzględnie.

cosinus parzystych wielokrotności \(\pi\) to 1, a cosinus nieparzystych wielokrotności \(\pi\) to -1

[kate84]

\(\frac{cos( \pi n^2)}{ln^2 n}= (-1)^n \frac{1}{ln^2 n}\)

skąd to?

[radagast]

cosinus parzystych wielokrotności \(\pi\) to 1, a cosinus nieparzystych wielokrotności \(\pi\) to -1 [/quote]