różniczkowalnosc

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kate84
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 738
Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
Podziękowania: 258 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

różniczkowalnosc

Post autor: kate84 »

Zbadaj różniczkowalność funkcji \(f(x) =\sqrt[4]{x^2}\) w dziedzinie naturalnej. Czy f jest jednostajnie ciągła na zbiorze \(<1,+ \infty )\)?
kate84
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 738
Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
Podziękowania: 258 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: kate84 »

pomoze ktos??
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

\(f(x) =\sqrt[4]{x^2}= \sqrt{|x|}= \begin{cases} \ \ \ \sqrt{x} \ \ \ dla\ x \ge 0\\- \sqrt{x} \ \ dla\ x < 0\end{cases}\)
\(f'(x) = \begin{cases} \ \ \ \frac{1}{2\sqrt{x}} \ \ \ dla\ x>0\\ nie\ istnieje\ dla\ x=0\\- \frac{1}{2\sqrt{x}} \ \ dla\ x < 0\end{cases}\)
kate84
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 738
Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
Podziękowania: 258 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: kate84 »

Zatem nie jest rózniczkowalna bo nie istnieje pochodna dla x=0 , dobrze myslę?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Dobrze. Można też powiedzieć, że jest różniczkowalna wszędzie poza zerem.
kate84
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 738
Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
Podziękowania: 258 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: kate84 »

a co jesli chodzi o drugie pytanie?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Zakładam, że znasz lub możesz znaleźć w notatkach definicję jednostajnej ciągłości.

Trzeba oszacować wartość wyrażenia \(|f(x_1)-f(x_2)|\) dla \(x_1,x_2 \, \in [1,+ \infty )\)
  • \(|f(x_1)-f(x_2)|= \begin{vmatrix} \sqrt{|x_1|}-\sqrt{|x_2|}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\end{vmatrix}= \frac{|x_1-x_2|}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}\le \frac{|x_1-x_2|}{2}\), bo \(x_1,x_2\ge 1\)
Jeżeli weźmiemy \(\delta=2\varepsilon\) (\(\delta\) nie zależy od wyboru \(x_1,\,\, x_2\), a tylko od \(\varepsilon\)) to, jeśli \(|x_1-x_2|<\delta \So |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\) co dowodzi jednostajnej ciągłości funkcji f na przedziale \([1,+ \infty )\)

P.S.
  • W zapisie pochodnej dla x<0 podanych przez @radagast występuje pierwiastek z liczby ujemnej.
    Powinno być \(\frac{1}{2\sqrt{-x}}\) zamiast \(\left( -\frac{1}{2\sqrt x}\right)\)
kate84
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 738
Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
Podziękowania: 258 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Re:

Post autor: kate84 »

P.S. W zapisie pochodnej dla x<0 podanych przez @radagast występuje pierwiastek z liczby ujemnej.
Powinno być \(\frac{1}{2\sqrt{-x}}\) zamiast \(\left( -\frac{1}{2\sqrt x}\right)\)

dlaczego?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Oczywiście! Panb ma rację, to pomyłka !
kate84
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 738
Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
Podziękowania: 258 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: kate84 »

a wytłumaczy mi ktos dlaczego to pomyłka?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re:

Post autor: radagast »

radagast pisze:\(f(x) =\sqrt[4]{x^2}= \sqrt{|x|}= \begin{cases} \ \ \ \sqrt{x} \ \ \ dla\ x \ge 0\\- \sqrt{x} \ \ dla\ x < 0\end{cases}\)
\(f'(x) = \begin{cases} \ \ \ \frac{1}{2\sqrt{x}} \ \ \ dla\ x>0\\ nie\ istnieje\ dla\ x=0\\- \frac{1}{2\sqrt{x}} \ \ dla\ x < 0\end{cases}\)
\(dla\ x < 0\ \ \ \sqrt{x}\) nie istnieje (taka jest definicja pierwiastka w zbiorze liczb rzeczywistych i powinien o tym wiedzieć każdy gimnazjalista.Pewnie wie, tylko czasem , jak ja, czasem zapomina :lol: )
Powinnam napisać
\(f(x) =\sqrt[4]{x^2}= \sqrt{|x|}= \begin{cases} \ \ \ \sqrt{|x|} \ \ \ dla\ x \ge 0\\- \sqrt{|x|} \ \ dla\ x < 0\end{cases}\)
\(f'(x) = \begin{cases} \ \ \ \frac{1}{2\sqrt{|x|}} \ \ \ dla\ x>0\\ nie\ istnieje\ dla\ x=0\\- \frac{1}{2\sqrt{|x|}} \ \ dla\ x < 0\end{cases}\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Re:

Post autor: panb »

radagast pisze: \(dla\ x < 0\ \ \ \sqrt{x}\) nie istnieje (taka jest definicja pierwiastka w zbiorze liczb rzeczywistych i powinien o tym wiedzieć każdy gimnazjalista.Pewnie wie, tylko czasem , jak ja, czasem zapomina :lol: )
Powinnam napisać
\(f(x) =\sqrt[4]{x^2}= \sqrt{|x|}= \begin{cases} \ \ \ \sqrt{|x|} \ \ \ dla\ x \ge 0\\- \sqrt{|x|} \ \ dla\ x < 0\end{cases}\)
Oj, chyba nie tak.
  • Z definicji wartości bezwzględnej korzystając, dostajemy \[\sqrt{|x|}= \begin{cases} \sqrt{x}&dla & x\ge0\\ \sqrt{-x}&dla&x<0 \end{cases}\]
ODPOWIEDZ