Całka nieoznaczona przed podstawienie

[ziolo23]

Witam, mam problem z rozwiązaniem pewnej całki przez podstawienie. Przeszkadza mi starsznie x na początku i nie wiem jak do tego podejść..

\(\int_{}^{} x \sqrt{1-x^2}dx\)

Bardzo byłbym wdzięczny za ukierunkowanie mnie w jaki sposób to rozwiązać

[panb]

za \(1-x^2\) podstaw \(t\). Wtedy ten x zabierze się z pochodną przy liczeniu \(dx\).
Jeśli niezrozumiale to napisałem to daj znać. Nie wiem jak bardzo jesteś zaawansowany.

[radagast]

\(\int x \sqrt{1-x^2}dx= \begin{bmatrix} x=\sin t\\dx=\cos t dt\end {bmatrix} = \int \sin t \sqrt{1-\sin^2 t}\cos t dt= \int \sin t \cos ^2t dt=- \int \left( \cos t\right) ' \cos ^2t dt=\\
- \cos t\cos ^2t+ \int \cos t \left( \cos ^2t\right) ' dt =-\cos^3t- 2\int \cos^2 t \sin t dt \So 3\int \cos^2 t \sin t dt=-\cos^3t+C \So\\
\int \sin t \cos ^2t dt=- \frac{1}{3}cos^3t+C_1 \So \int x\sqrt{1-x^2}dx=- \frac{1}{3} \left( \sqrt{1-x^2}\right) ^3+C_1\)
To na pewno można jakoś prościej...

[radagast]

No pewnie ...
\(\int x \sqrt{1-x^2}dx= \begin{bmatrix}t=\sqrt{1-x^2}\\x= \sqrt{1-t^2}\\dx=- \frac{tdt}{\sqrt{1-t^2}} \end{bmatrix}=-\int \sqrt{1-t^2} \cdot t \cdot \frac{tdt}{\sqrt{1-t^2}}= -\int_{}^{} t^2dt=- \frac{1}{3}t^3+C=- \frac{1}{3} \left(\sqrt{1-x^2} \right) ^3+C\)

[panb]

No, nie zdzierżę!
\(\int x\sqrt{1-x^2}= \begin{vmatrix} 1-x^2=t \\ -2xdx=dt \\ xdx=- \frac{1}{2}dt \end{vmatrix}=- \frac{1}{2} \int \sqrt t dt\)
I to by było na tyle - armaty można schować.

[ziolo23]

Panowie jesteście mistrzami już wiem gdzie zrobiłem błąd i nakierowałem się prawidłowo

Skoro idzie tak dobrze, mam teraz kolejną całkę rozwiązać przez całkowanie przez części
Całka: \(\int_{}^{} (x^3+2x-1)e^x dx\)
A tutaj zdjęcie z moim rozwiązanie, co robię nie tak ?
https://zapodaj.net/c75a9bd72a3c0.jpg.html

[ziolo23]

Przepraszam najmocniej, Panie...

[panb]

W ogóle nam dobrze nie idzie - nie zauważyłeś?!